数理科学にあらわれる非線形方程式の数値解析的研究

数理物理、工学等によくあらわれる微分方程式の数値解を求める有力な手法としての有限要素法は、数理科学の分野では現在最も多く利用されている。しかし非線形問題に対しては十分統一的な体系ができあがっていない。そのため今回の研究では非線形方程式を解く反復解法のアルゴリズについて、誤差評価、収束性、安定性などの数値解析上の問題点を明らかにして数学的解析を行った。さらに数理統計学上の考察もしてグラフ理論とアルゴリズムとの関連、計算複雑度に理論的考察をした。同時にコンピュータによる数値実験もして理論と数値解との比較、検討をして理論の有効性を示した。次に個々の研究成果を列挙する。1.非対称行列(又はヤユビアン行列)の場合でも逐次加速係数法が有効であり、十分分割メッシュが小であれば最適加速係数が存在することが証明できた。2.統計学的処理により最小の計算量となる配列が存在するという事実が幾何学的意味付けと一致する。3.均斉配列が存在する条件が得られた。4.多項式間の絡み目の不変量から、最小交点数を与える射影図を、グラフ理論より求められる。今後はさらに、差分法などの近似解法との関連、長所、短所を調ベて、数値解析上の問題点を統計的処理とグラフ理論の考察に加えて、代数的位相的手法も試みて問題を解決して行きたい。あわせてコンピュータによる数値実験も大規模にして理論と実際との統一を考えていきたい。

数理物理、工学等によくあらわれる微分方程式の数値解を求める有力な手法としての有限要素法は、数理科学の分野では現在最も多く利用されている。しかし非線形問題に対しては十分統一的な体系ができあがっていない。そのため今回の研究では非線形方程式を解く反復解法のアルゴリズについて、誤差評価、収束性、安定性などの数値解析上の問題点を明らかにして数学的解析を行った。さらに数理統計学上の考察もしてグラフ理論とアルゴリズムとの関連、計算複雑度に理論的考察をした。同時にコンピュータによる数値実験もして理論と数値解との比較、検討をして理論の有効性を示した。次に個々の研究成果を列挙する。1.非対称行列(又はヤユビアン行列)の場合でも逐次加速係数法が有効であり、十分分割メッシュが小であれば最適加速係数が存在することが証明できた。2.統計学的処理により最小の計算量となる配列が存在するという事実が幾何学的意味付けと一致する。3.均斉配列が存在する条件が得られた。4.多項式間の絡み目の不変量から、最小交点数を与える射影図を、グラフ理論より求められる。今後はさらに、差分法などの近似解法との関連、長所、短所を調ベて、数値解析上の問題点を統計的処理とグラフ理論の考察に加えて、代数的位相的手法も試みて問題を解決して行きたい。あわせてコンピュータによる数値実験も大規模にして理論と実際との統一を考えていきたい。