幾何学的環の性質から見るネーター環の研究

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環A上の加群Mが入射A-加群であるかは、Aの任意のイデアルIについてExt^1_A(A/I_1M)=0となることで特徴付けられるが、Aがネーター環の場合には、Iとして素イデアルのみ調べればよいという基本的な結果が知られている。Aがネーター環でない場合、これは本当に成立しないのかという問題から、実数Rを値群にもつ付値環の研究をすることになった。ネーター環にならないもののうち、比較的構造の単純なこの環で上の問題の反例は見つかったのであるが、それではそこの直既約な入射加群を決定できるのではないかということになった。Matlisの理論によれば、この付値環A直既約な入射加群は、同型を除いて3つしかないことはすぐわかるのだが、実際それがどんな形をしているのかは、1つがその商体Kと同型という以外は簡単ではない。もう一つの形は、離散付値環の場合と同様にK/Aの形でないかと予想されたが、研究の結果これは、入射的でないことがわかった。そして結局残りの2つ形も決定できたのであるが、それは基礎論と多少結びついた面白い結果となった。直和因子定理及び、Jacobian予想については、精力的研究努力がなされたにもかかわらず、問題の困難さを更に認識するという結果しか得られなかった。又、本研究課題と深い関わりを持つGeneral Neron desingularizationについての研究代表者の成果は、世界の研究者の長い精察の末に認められて、本年度公表された。一方、研究分担者の伊藤は、有限離散空間のmidsetの性質の一意性についての結果を得た。