Direct summand theorem について

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直和因子定理についての、巡回群を作用させて証明するというアイデアは、大きな困難にぶつかって諦めざるを得なくなった。代わって、特定の有理変換によりdepth 2 の場合に帰着させるアイデアを得、証明を進めた。標数が0の場合にはこの方法でも簡単に証明ができることが解ったが(標数が0の場合には別の方法での簡単な証明が知られている)不等標数の場合には、環の元の表示をどの様にうまくできるかが問題となってきた。現在の所、最後の詰めの所で完全に納得できるところまでは至っていない。local cohomology module の associated prime の有限性については、ある程度の感触を得たが、depth を特徴付けられるのではないかという期待が出てきてそれに向い努力中であり、研究成果という形ではまとまっていない。一方 Zariski 問題に関した永田の定理に関連してネーター整域B上の因子的付値環とBの商体との共通部分はB上因子的となるかという問題について肯定的解決を与えた。これによって、永田の定理は一般のネーター整域B上のアファイン環の正規化とB上の函数体との共通部分はB上のアファイン環の正規化のイデアルトランスフォームとして特徴付けられるという単純な形となった。(元の永田の定理はBに条件を付けておくことが必要であった)この結果は、成果としてまとめられ投稿中である。