Leopoldt予想とそれに関連した研究

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記号pは素数表し、Q_pはp進数体、Z_pはp進整数環とする。1.Leopoldt予想とガロア コホモロジーの関係をTate-Poitouの双対性を基にして研究したが、目標であった純郡論的な考察へは、その準備段階までしか到達できなかった。(1)最大p分岐p拡大のガロア群のShur MultiplicatorがLeopoldt予想に関するdefect値だけのQ_p/Z_pの直和に同型であるという定理を、Jaulentのp-adic formationを利用してより一般的な定理の系として導くことができた。この定理は、ガロア閉包のShur Multiplicatorが消えているというSerrの定理との関係で考察して得たものである。(2)円分的Z_p拡大上の最大p分岐p拡大のガロア群はそのμ不変量が0ならば、自由副有限群になるという定理がある。これとLeopoldt予想が成立しなければ、基礎体上のガロア群は副有限群ではないという定理との関係がある程度明らかになった。付加条件があるが、「Z_p自由部分の階数とtorsion部分の階数を加えるとこれはLeopoldt予想の影響を受けない」ということがわかった。(3)目標であった純群論的に考察し結果を得ることについては、上記の結果を基にして今後研究をすることを予定している。II.Tate-Poitouの双対性は1次元と2次元のガロア コホモロジーの局所化写像の核の間のPontrjaginの双対性である。この核を研究することによりGreengerg予想に関係した結果を得ようというのが第2の目標であった。(1)拡大次数pと素なアーベル体においてはこの核の位数はp進L関数の1における値で書き表す公式を得た。しかし、拡大次数の制限などがありこの結果は不十分であると考えている。(2)この核の構造を調べる事に関しては、群の表現論を用いて或る程度の見通しを得ることができた。これについては現時点で進行中である。(3)この核を調べるために保型関数論の結果を応用することは重要なことと考えている。これに関しては共同研究者の援助を受けているが、初歩的な段階である。