無限ネットワーク上のポテンシャル論とその応用

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1 与えられた制約条件を満たす有限ネットワーク上の流れが存在するための必要十分条件として良く知られているGaleの定理が無限ネットワーク上においても成立することを証明し、最大流れ最小切断定理の研究に応用した。マンハイム大学Oettli教授のサンドイッチ定理を使って、汎関数から流れを具体的に構成することに成功した。2 無限ネットワーク上で種々の制約条件を満たすポテンシャルが存在するための必要十分条件を、サンドイッチ定理及び無限線形計画法におけるファルカスの補助定理を用いて研究した。その成果は投稿中。3 無限グラフ上の等周不等式とポアンカレ・ソボレフの不等式の同値性に関するAnconaの結果を一般化した形で無限ネットワーク上においても成立することを証明した。また、上記1で得られた許容流れの存在問題との同値性やディリクレポテンシャルの空間の特性付けに応用できることが判明した。この成果は投稿中。4 無限ネットワーク上の離散型倉持核がディリクレ関数の部分族に対する再生核であり、ある種の極値問題の最適解として得られることを利用して、無限ネットワークの2点を結ぶパスの族の極値的長さが三角不等式を満たすことを証明した。また、ディリクレポテンシャルの族に対する再生核であるグリーン関数の性質を用いて、理想境界において制約を受ける流れとそうでない流れに関する2種の極値問題の値が等しくなるための必要十分条件を得た。