ソリトン方程式に対するシンプレクティック数値積分法

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Hamilton系を数値積分するための最も原始的、かつ単純なスキームはオイラー法であるが、オイラー法では相空間の面積要素(symplectic2-form)が一般に保存されずt=0の(q,p)からt=τの(q^1,p^1)への変換が正準変換とはならない。そして、保存すべきエネルギー値の誤差がsecularに増大し、長時間の数値計算の結果の信頼性を失わせる。この事情は局所的な誤差を小さくするRunge-Kutta型の積分法、および従来の多段型の積分法においても同様である。シンプレクティック積分法(symplectic integrator)は(q,p)から(q^1,p^1)への変換が厳密にシンプレクティック変換となるように設計された積分法である。シンプレクティック積分法に対して今年度我々は次の点を明らかにした。1:Symplectic Integratorの応用において一つのネックとなっていた可変時間ステップにおいて、Hut et al (1993)によって示唆されたように、時間ステップをスキーム全体の可逆性を保つように決定すればエネルギーの誤差に長年的な誤差が現れないことを確認した。2:剛体の自由回転を記述するEulerの方程式などのように保存力学系であるにも係わらず通常の意味でのハミルトン系でない力学系が存在する。そのような系に対するSymplectic Integratorの一般化はLie-Poisson Integratorと呼ばれるが、この積分法に対してやはりエネルギーの誤差が永年的に増大しないことを示した。3:本研究の主題であるソリトン方程式系への適用は現在準備中である。