多項式環の斉次イデアルの研究

多項式環R上の有限生成次数付加群Eのワイエルシュトラス基の各元の次数を定められた方法によって並べたものをベーシックシークエンスと呼んでB(E)と書く。Rの変数の個数がrならばワイエルシュトラス基はr+1個の部分に分けることができそれに応じてB(E)もr+1個の部分数列をつないだものとなる。一方Rの斉次イデアルIに対してIの自由分解を介して自由直和因子およびねじれのないR上の有限生成次数付加群M(I)が一意的に対応する。1.Iの高さがpならばIとM(I)のワイエルシュトラス基は後半のr+1-p個の部分が同一視できる。後半のr+2-p個について考えれば変数の多項式環上の有限生成自由加群の直和分の違いしかない。よってB(I)とB(M(I))は後半のr+1-p個の部分が同じで,B(M(I))の第p番目はB(I)の第p番目の部分数列となる。2.(M(I))と次数付自由加群を用いて長さがp-1のIの自由分解もどきを作ることができるが,そのようなもののうちに,現れる次数付自由加群をB(I)とB(M(I))で完全に公式で記述できるようなものがある。それが極小になるか否かはまちまち。3.pが2の場合には,与えられた次数付加群MについてM(I)=MとなるIが存在するための必要十分条件は1で述べた部分数列がある特定の数列を含むことであると以前からわかっているが,この部分数列からその特定の数列を除いたものはS.Nolletの定義した数値的関数θと実質的に一致している。S.Nolletの結果と我々の結果より,以前に得られた余次元2の次数付ブックスバウム整数の存在に関する条件が一般化されたことになる。4.余次元が2の時は我々の方法でもリエゾン学派の方法でも見えてくるものは同じだが,3以上の時では様子が大きく異なるらしいことがコンピューターを使った計算等で感じられる。

多項式環R上の有限生成次数付加群Eのワイエルシュトラス基の各元の次数を定められた方法によって並べたものをベーシックシークエンスと呼んでB(E)と書く。Rの変数の個数がrならばワイエルシュトラス基はr+1個の部分に分けることができそれに応じてB(E)もr+1個の部分数列をつないだものとなる。一方Rの斉次イデアルIに対してIの自由分解を介して自由直和因子およびねじれのないR上の有限生成次数付加群M(I)が一意的に対応する。1.Iの高さがpならばIとM(I)のワイエルシュトラス基は後半のr+1-p個の部分が同一視できる。後半のr+2-p個について考えれば変数の多項式環上の有限生成自由加群の直和分の違いしかない。よってB(I)とB(M(I))は後半のr+1-p個の部分が同じで,B(M(I))の第p番目はB(I)の第p番目の部分数列となる。2.(M(I))と次数付自由加群を用いて長さがp-1のIの自由分解もどきを作ることができるが,そのようなもののうちに,現れる次数付自由加群をB(I)とB(M(I))で完全に公式で記述できるようなものがある。それが極小になるか否かはまちまち。3.pが2の場合には,与えられた次数付加群MについてM(I)=MとなるIが存在するための必要十分条件は1で述べた部分数列がある特定の数列を含むことであると以前からわかっているが,この部分数列からその特定の数列を除いたものはS.Nolletの定義した数値的関数θと実質的に一致している。S.Nolletの結果と我々の結果より,以前に得られた余次元2の次数付ブックスバウム整数の存在に関する条件が一般化されたことになる。4.余次元が2の時は我々の方法でもリエゾン学派の方法でも見えてくるものは同じだが,3以上の時では様子が大きく異なるらしいことがコンピューターを使った計算等で感じられる。