3次元ユークリッド空間内の完備極小曲面の研究

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長年の未解決の問題だった有限位相の無限全曲率極小曲面の存在問題がジーナス1のヘリコイドの発見により解決した.それは,可能なガウス写像をその形状から予想し,それをもとにワイエルストラスデータを決める方針によっている.その結果パラメータを含む族が決まり,周期が消える様なパラメータの存在を示すことになっている.知られた曲面にハンドルをつけることにより,ジーナスの高い曲面を構成する方法,およびこの方法がより高いジーナスのヘリコイドの構成に一般化出来るかを念頭に検討している.このとき,対称性に注目してトーラスの形状を決めているが,ジーナスの高いときリーマン面としてなにをとるか,またトーラス上では楕円函数論が出来上がっており,具体的な函数がその挙動も含めて知られているが,ジーナスの高いリーマン面上で要求される性質を持つ函数の存在を示すことが問題である。また,曲率が-1の空間形の平均曲率1の曲面が極小曲面とよく対応することが知られている.この点から,上の曲面についても類似点,相違点について調べている.また,CRリー群論の構成と,そのカテゴリカル複素化の存在を示した.CRリー群のアドミッシブルな部分群による商空間には自然にCR構造が誘導される.この様にして得られたCR等質空間について、その同変複素化の存在を示た.また,その典型的な例としてCR線型群,CRグラスマン空間を定義し,それらの空間およびその複素化の構造を調べた.CR等質空間として,CR変換群が推移的に作用する多様体とするのも自然である.このとき変換群にCR構造が誘導されるが,この場合の同変複素化については現時点では位相的な問題が解決出来ていない.