ユ-クリッド空間内の完備極小曲面の研究

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完備極小曲面の固有にはめ込まれた円板型のエンドの具体例は知られていない。kーノイドの普遍被覆空間がkが3より大きいとき円板であるので、kーノイドのアソシエイト曲面を調べた。kーノイドの基本群の交換子群がアソシエイト曲面の基本群になり、こうして得られた曲面は円板のある商空間のはめ込みになっている。カテノイドの共役曲面がヘリコイドになり基本群が完全に分離される状況がよく説明される。2つの平行な平面内の凸な単純閉曲線の組を境界とする極小曲面はこの平面と平行な平面で切ると、又単純閉曲線で凸になる。このShiffmanによる結果を、境界が自己交差をもつ凸閉曲線の場合に拡張することができた。証明は前定理の証明をこの場合に拡張することにより与えられる。平行な2平面内の平行な2直線を境界にする極小曲面は、中間の平行な平面による切り口が閉曲線のときは、Riemanの例になることがHoffmanらにより示された。平行な2平面内の直線が平行でない場合には、曲面の位相的性質に強い仮定をおくと、ヘリコイドの一部になることがわかる。平行な2平面内の2直線を境界とする極小曲面はこの2つに限ると思われるが証明はできていない。完備極小曲面のガウス写像の除外値は高々4点である。全曲率が有限な極小曲面では、カテノイドとヘリコイドが2点を除外値としてもつ。3点を除外する全曲率有限な曲面は知られていないので、この様な曲面の非存在を示すことを目的に、3点を除外する曲面の除外値に直交する平面による切り口の変化を現在しらべている。