リー群の保型表現とその応用

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1.簡約リー群Gの既約ユニタリー表現で、ある数論的部分群Γについて保型表現となるのは、どのような表現かという問題に関して、不定符号のユニタリー群SU(m,n)の場合に、一つの定性的特徴づけと思われる結果がある。すなわち、SU(m,n)のユニタリー最高ウェイト表現は、すべて、コンパクト群との簡約対による表現の双対対応として、ヴェイユ表現から得られ、従って、あるΓに関し保型表現となる。ところで、SU(m,n)は、ある意味で普遍的な群で、いくつかの古典群を自然な形で部分群として含んでいる。群G′がSU(m,n)の中に、代数群としてうまく入っているとき,上記の保型表現をG′に制限し、その既約分解の離散的直和の部分にあらわれるG′の表現は、G′の保型表現となりうることを示すことができた。更に、ヴェイユ表現による表現の具体的実現を用いることにより、例えば、G′=Sp(p,q)の場合に、一連のSU(m,n)の最高ウェイト表現のG′への制限の分解から、G′の保型表現のある系列を得ることができ、p,qが低い値の場合に、これらの表現達を詳しく解析した。又、これは、表現の部分群への制限の分解の問題として、T.Kobayashiや、B.Grossの提起した問題とも関連しており、階数の高い場合もこめて、確定的な、結果が得られれば、面白いと思われる。又、局所体上の代数群の表現について、四元数環の乗法群の表現(分岐する場合)の指標公式を具体的に明確な形で得た。