リー群の離散部分群をめぐる幾何と表現論

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1.リー群Gのアリスメティック離散部分群Γに対して、Gのどのようなユニタリー表現が保型表現となるのかという問題に関して、Gを適当なシンプレクティック群に埋め込むことにより、Weil表現のテンソル積を用いて保型表現を実際に構成する方法がある。この方法をユニタリー群を経由して用いることにより、コンパクト群との簡約対とならないような群に対しても保型表現を構成することができることを示した。その際、ユニタリー群のユニタリーな最高ウエイト表現のGへの制限の中に、どのようなGの表現達が離散直和成分として現われるかが問題となる。この点に関して、例えば、G=Sp(r,s)の場合、一定の結果を得たが、一般のGに対しては思わしい結論が得られていない。幾何学的なコホモロジーに貢献する表現達はすべてこれらの既約分解の中にあらわれ従って、保型表現となることが言えるのではないかと考えている。2.局所体F上の代数群の表現に関して、素数次の単純代数の乗法群の場合に、その尖点不分岐系列の表現についての指標公式を具体的に明確な形で得ることができた。F上のn^2次元の多元体の乗法群の既約表現達とGL_n(F)の二乗可積分な表現達との間の1対1対応が、それぞれ、Deligne-Kazhdzn-VigneraとMoyによって独立に与えられているが、この二通りの対応が、上記の指標公式により、尖点不分岐系列上は一致していることがわかる。又、この公式は、実数体上のリ一群の二乗可積分な表現の指標公式のアナロジーとなっており、興味深く、グローバルな保型表現の跡公式への応用も期待される。現在、この結果の素数次という仮定をはずすべく研究を続けている。