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Spectral flowの研究

谱流研究

基本信息

批准号：
07640254
负责人：
古谷賢朗
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Tokyo University of Science
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1995
资助国家：
日本
起止时间：
1995 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640254/
关键词：
Spectral flow Maslov index Cauchy data Fredholm 作用素 Dirac operator elliptic operator index theorem η(eta)-invariant

项目摘要

J. PhillipsのSpectral flowの定義は、それがloopのみならず端点を固定したpathのhomotopy不変量であることを明らかにした。このideaに基づいて、maslov indexもloopのみならずpathのhomotopy不変量であることを、関数解析的な方法によって明らかにし、さらに最近のRobbin-Salamonの定義との関係も明らかにすることが出来た。これらに基づいて、一般のSpectral flow公式を証明した。すなわち、まず非有界自己共役Fredholm作用素のある意味での連続Familyを、有界なそれらの連続Familyにスペクトル達の符号を変えないで変換し、前者のSpectral flowを後者のそれと定義することが出来た。その後、一般Cauchy data spaceがabstract boundary value space(それは自然にsymplectic Hi lbert spaceになる)の中のLagrangian suhspaceの連続Familyになり、そのmaslov indexとSpectral flowが一致することを示した。これは奇数次元閉多様体上の自己共役Dirac作用素のFamliy(接続を変化させることによって得る)のSpectral flow公式の一般化であるが、具体的応用のためには有限次元のsymplectic vector spaceへの簡約を行う必要があり、そのmechanismの研究が来年度の研究テーマである。すなわち境界多様体上のL_2-spaceとabstract boundary value spaceの関係を明らかにし、作用素がさらにどの様な形(又はどの様な条件)を溝していればCauchy data spaceが有限次元への簡約を可能にするかを明らかにしたい。

J. Phillips 'Spectral flow definition is: loop, endpoint, homotopy, variable. This idea is based on the concept of the maslov index loop, the homotopy of the path, and the method of the number analysis. This is the proof of the basic formula and the general Spectral flow formula. Fredholm action element means connected family, bounded family, connected family symbol, Spectral flow of the former, definition of the latter. After that, the Lagrangian suhspace in the Cauchy data space is an abstract boundary value space(including a natural symplectic Hi lbert space), and the Maslov index Spectral flow is consistent. This is a generalization of the Spectral flow formula of the Dirac action element on the odd-dimensional closed vector space and a reduction of the mechanism of the finite dimensional closed vector space. The relationship between L_2-space and abstract boundary value space on a multi-dimensional space is clearly defined, and the action element is shaped (and the condition is reversed). The Cauchy data space is a finite dimensional space.