量子化とFourier積分作用素の研究

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コンパクト多様体M上で定義された、一般の同次正準変換がその位相関数を決定している所の楕円型Fourier積分作用素FのFrendholm指数ind(F)について以下のような研究、及び関連する研究を行った:(1)M=S^1の時はその指数は同じ表象を持つ楕円型擬微分作用素の指数と一致する。すなわち、その指数は正準変換にはよらない。(2)Mの次元≧3、かつ奇数の時は、指数は正準変換にのみ依り、作用素が定義されている所のvector束にはよらない。(3)Fがscalar関数の空間に作用していて、Mの次元≧2のときは、指数はその正準変換にのみよって決まる。すなわち余接束T^水Mに対して、T水^<>M＼Mの一次同次正準変換全体の作る群をDとしたとき、上の指数はind=D→Zなる準同型を一つ与える。以上の内容はFrendholm indexの一般的性質の一部であるが、今後の重要な問題は写像ind:D→Zのくわしい性質を調べることである。又、ind(F)とある種の熱核不変量との間の関係を得た:今MにSC-計量gが存在するとしたとき、さらにCEDでgのエネルギー関数を変換したものもMのある計量のエネルギー関数になっているとしたとき、それぞれの計量に関するある種の熱核不変量とCに対応するFrendholm indexの間の関係を得た。これは古典力学的には区別のつかない現象も量子化すれば違いが出てくることを意味している。又この仮定と関連して、上の様なHamiltonianが存在する多様体についての研究を少し行った。すなわち一般旗多様体が上記条件を満たすHamiltonianを持つ多様体の簡約相空間となりうる場合の可能性について少し調べた。