符号理論と組合せ論の研究

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符号長がn、次元がk、最小距離がdであるq元線形符号を[n,k,d;q]-codeという。与えられた整数k,d,qに対してGriesmer boundの等号を満たす[n,k,d;q]-codeが存在するならば、この符号は最適な符号であることが知られている。この研究の目的は次の2つの問題を解くことである。(問題A)Griesmer boundの符号を満たす[n,k,d;q]-codeが存在するためのk,d,qに対する必要十分条件を求めよ。(問題B)与えられた整数k,d,qに対して、Griesmer boundの等号を満たす[n,k,d;q]-codeが存在する場合には、Griesmer boundの等号を満たす同値でないすべての[n,k,d;q]-codeを構成し、特徴付けをせよ。この研究の代表者である濱田昇は1987年に、1≦d≦q^<k-1>の場合には、問題Aを解くためには、有限射影幾何PG(k-1,q)の中に{V_k-n,V_<k-1>-n+d;k-1,q}-minihyperが存在するためのk,d,qに対する必要十分条件を求めればよいこと、および、問題Bを解くためには{V_k-n,V_<k-1>-n+d;k-1,q}-minihyperの特徴付けをすればよいことを示した。今回はq=3 or 4,k≧3,1≦d<q^<k-1>の場合に対して{V_k-n,V_<k-1>-n+d;k-1,q}-minihyperが存在するかどうかを調べ、存在する場合にはそのminihyperの特徴付けをした。これらの研究実績は研究発表(雑誌論文)の欄の1から12までの12個の論文として学術雑誌に掲載(または掲載決定)された。