多次元Brown運動とランダムウォークの漸近解析

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研究計画調書の研究目的にあるランダムウォークとアルゴリズムより、次の研究に取り組んだ。“象限上の離散ディリクレ問題とランダムウォークのインポータンス・サンプリング"離散ディリクレ問題の解のランダムウォーク表現を用いてその数値解をモンテカルロ法によって求めることはよく知られている。しかし考える領域が有界でないとき注意を要する問題が生じる。本研究ではZ^2の第1象限を領域とし、第1象限の内向きにドリフトのある離散ディリクレ問題のモンテカルロ解の効率化について考察した。もしランダムウォークの出発点が零と異なる境界条件を付与された辺から十分離れているとき、問題の設定からその辺へ到達する事象は所謂レア-・イベントになり精度の高い数値解を効率的に得ることが出来ない。このような場合モデルの確率測度を変換し、その新しい確率測度で問題を記述し直したうえでモテカルロ法を実行することで効率化を実現する事が出来ることがある。この技法はインポータンス・サンプリング法と呼ばれている。我々の問題では所謂“調和変換"(ドリフト変換)で確率測度を変換する。我々は“ベタ-"なモンテカルロ解を与える調和変換を定める基準について考察した。その結果次の事が示された。そのランダムウォークの1ステップの遷移確率から自明な“ベタ-"なモンテカルロ解が得られる場合と、得られない場合に分けることが出来る。得られない場合については新しい確率測度によるモンテカルロ解の分散の“最小化"についての評価が必要となる。この評価の過程に一部ヒューリステックな部分があり完全なものになっていないが、数式処理ソフト“マセマティカ"による数値実験から我々の考察が有効であるとの見通しを得た。我々の考察を完全なものにする事は今後の課題である。そこでは2次元ランダムウォークと、1次元条件付きランダムウォークについてのある種の大偏差原理について調べる事が必要になるものと思われる。