フェッファーマンのプログラムと非可換幾何学

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1超局所解析とフェッアーマンのプログラム(1)ラプラシアンの冪を主要部とする共形不変微分作用素はGJMS作用素とよばれ,最近の共形幾何の重要な研究対象である.GJMS作用素のグリーン核に現れる対数型特異性は局所共形不変量を与える;この不変量の具体的な計算を行った.(2)GJMS作用素の一般化としてラプラシアンの複素冪を主要部とする共形不変擬微分作用素を構成した;これにはアンビエント計量をもちいる.(3)上記二つの結果から,次元nが6以上のコンパクト・リーマン多様体が球面と共形同値になるのは階数n/2-2のGJMS作用素のグリーン核の対数項が消えるときであることを示した.(4)Colin Guillarmou氏(ENS研究員)と共同で,漸近的複素双曲空間のレゾルベントと散乱行列が負の整数点で有限重複度の特異性をもつことを示すことを目標とする研究を開始した.これが成功すれば複素双曲空間の凸ココンパクト商のセルバーグ・ゼータ関数の跡公式への応用が期待できる.2ハイゼンベルグ解析と接触多様体の局所指数定理オハイオ州立大学滞在中にこの課題についての新しい着想を得た.これは接触同型によって不変な指数公式およびCR同型によって不変な指数公式へのハイゼンベルク解析と非可換解析(サイクリック・コホモロジーとホップ代数など)の応用方法を示唆するものである.3非可換幾何における高次の指数公式CMサイクルの構成におけるregularityと呼ばれる重要な仮定を取り除くことを試みた.