岡の原理の幾何学的側面

本研究課題の核心をなす問いとして、複素幾何学で確立された岡多様体のある種の楕円性の類似が他の圏においても成り立つかということがあった。代数多様体の圏においては、代数的楕円性と代数的Runge型近似定理の同値性が既に知られており、この同値な条件を満たすものが代数多様体の圏における岡多様体の対応物であることが期待されている。一方で代数的楕円多様体に対しても、ある定式化の代数的な岡の原理は成り立たないことが確認されており、多くの解決すべき問題が残っている研究対象である。以上のような背景のもと、本年度は主に代数的楕円多様体の性質を研究した。まず、岡多様体が複素Euclid空間からの全射正則写像をもつというForstnericの結果の代数多様体の圏における対応物を証明した。より具体的には、任意の代数的楕円多様体がアファイン空間からの代数的全射をもつことを示した。この結果はArzhantsevやForstnericの定理を一般化し、彼らの問題への肯定的な解答も与えている。また応用として、代数多様体の圏におけるジェット補間定理の対応物も得ることができた。もう一つの研究成果として、任意の代数的楕円多様体の基本群が有限であること及び任意の有限群に対してそれを基本群とする代数的楕円多様体が存在することを確かめた。この研究は岡多様体のホモトピー型に関するGromovの問題を動機としており、岡多様体の代数幾何学的側面だけでなく位相幾何学的側面も同時に解明することを目指すものである。本年度に得られた以上の研究成果は、代数的楕円多様体が代数多様体の圏における岡多様体の対応物であるという予想をより強くするものであり、今後は適切な定式化のもとで代数的な岡の原理の確立が期待される。

本研究課題の核心をなす問いとして、複素幾何学で確立された岡多様体のある種の楕円性の類似が他の圏においても成り立つかということがあった。代数多様体の圏においては、代数的楕円性と代数的Runge型近似定理の同値性が既に知られており、この同値な条件を満たすものが代数多様体の圏における岡多様体の対応物であることが期待されている。一方で代数的楕円多様体に対しても、ある定式化の代数的な岡の原理は成り立たないことが確認されており、多くの解決すべき問題が残っている研究対象である。以上のような背景のもと、本年度は主に代数的楕円多様体の性質を研究した。まず、岡多様体が複素Euclid空間からの全射正則写像をもつというForstnericの結果の代数多様体の圏における対応物を証明した。より具体的には、任意の代数的楕円多様体がアファイン空間からの代数的全射をもつことを示した。この結果はArzhantsevやForstnericの定理を一般化し、彼らの問題への肯定的な解答も与えている。また応用として、代数多様体の圏におけるジェット補間定理の対応物も得ることができた。もう一つの研究成果として、任意の代数的楕円多様体の基本群が有限であること及び任意の有限群に対してそれを基本群とする代数的楕円多様体が存在することを確かめた。この研究は岡多様体のホモトピー型に関するGromovの問題を動機としており、岡多様体の代数幾何学的側面だけでなく位相幾何学的側面も同時に解明することを目指すものである。本年度に得られた以上の研究成果は、代数的楕円多様体が代数多様体の圏における岡多様体の対応物であるという予想をより強くするものであり、今後は適切な定式化のもとで代数的な岡の原理の確立が期待される。