拡散構造を持たない消散型波動方程式に対する大域可解性の理論の新展開

本年度は空間三次元における消散型波動方程式の解に対する時空重み付き各点評価を導出した．これは，本研究の目的である波動方程式と消散型波動方程式の連立系である「中尾の問題」の解析に必要な道具を構築したことになる．そもそも波動方程式と消散型波動方程式は偏微分方程式としての分類では同じ双曲型方程式となるにもかかわらず，前者はエネルギー保存や有限伝播性といった波動的な性質を持つが，後者は消散項の影響でそのような波動的性質よりも寧ろエネルギー散逸やそれに伴う減衰の観点から放物型方程式である熱方程式的性質をもっていると捉えることが出来る．従って，中尾の問題の解の漸近挙動の解析は全く違うものだと考えられていた双曲型方程式と放物型方程式の間のある種の階層構造を解明するための一つの鍵となっていると考えられる．中尾の問題に対しては解の有限時間爆発 (時間大域解の非存在) に関しては幾つかの結果が存在するが，時間大域解の存在に関する結果は未だに存在しない．実際，単独の消散型波動方程式の初期値問題の大域適切性の証明に関しては，消散効果によるエネルギー散逸に着目した重み付きエネルギー法がよく用いられているが，この手法は波動方程式には適合しない．従って，中尾の問題の時間大域解を議論するためには消散型波動方程式に対する波動的なアプローチを確立しなければならない．本研究ではその一つとして解の重み付きの各点評価に注目して研究を行なった．特に波動方程式に対する F. John (1979) の古典的な結果の消散型波動方程式版を導出した．この評価を用いることで中尾の問題の解決だけでなく，単独の消散型波動方程式のより詳細な解析を可能にすることが期待される．

本年度は空間三次元における消散型波動方程式の解に対する時空重み付き各点評価を導出した．これは，本研究の目的である波動方程式と消散型波動方程式の連立系である「中尾の問題」の解析に必要な道具を構築したことになる．そもそも波動方程式と消散型波動方程式は偏微分方程式としての分類では同じ双曲型方程式となるにもかかわらず，前者はエネルギー保存や有限伝播性といった波動的な性質を持つが，後者は消散項の影響でそのような波動的性質よりも寧ろエネルギー散逸やそれに伴う減衰の観点から放物型方程式である熱方程式的性質をもっていると捉えることが出来る．従って，中尾の問題の解の漸近挙動の解析は全く違うものだと考えられていた双曲型方程式と放物型方程式の間のある種の階層構造を解明するための一つの鍵となっていると考えられる．中尾の問題に対しては解の有限時間爆発 (時間大域解の非存在) に関しては幾つかの結果が存在するが，時間大域解の存在に関する結果は未だに存在しない．実際，単独の消散型波動方程式の初期値問題の大域適切性の証明に関しては，消散効果によるエネルギー散逸に着目した重み付きエネルギー法がよく用いられているが，この手法は波動方程式には適合しない．従って，中尾の問題の時間大域解を議論するためには消散型波動方程式に対する波動的なアプローチを確立しなければならない．本研究ではその一つとして解の重み付きの各点評価に注目して研究を行なった．特に波動方程式に対する F. John (1979) の古典的な結果の消散型波動方程式版を導出した．この評価を用いることで中尾の問題の解決だけでなく，単独の消散型波動方程式のより詳細な解析を可能にすることが期待される．