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非線形境界条件を伴う反応拡散方程式系の数学解析

具有非线性边界条件的反应扩散方程组的数学分析

基本信息

批准号：
20J11425
负责人：
喜多航佑
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では有界領域における非線形境界条件を伴う非線形熱方程式の解の定性的性質に関する研究を実施した．特に，昨年度に構築した非線形境界条件を含むかなり一般の二階放物型方程式系に対する比較定理を応用し，有界領域における藤田型非線形熱方程式の大域解の存在に関する臨界現象が境界条件によって特徴付けられるという新たな結果を示した．即ち,全空間や半空間では，臨界現象が非線形項の冪の指数と空間次元によって特徴付けられるのに対して，有界領域では境界条件が支配的になるということを明らかにした．より具体的には種々の代表的な線形境界条件を含む非線形境界条件の枠組みにおいて，斉次ディリクレ境界条件と斉次ノイマン境界条件の中間に相当する臨界の境界条件を見出し，その境界条件よりも境界におけるエネルギー散逸が弱くなる境界条件でば全ての非負値非自明解が有限時間で爆発することを証明した．今後の展望としては，先ず1次元の有界区間の場合に上記の臨界境界条件の性質を詳細に調べ，より具体的な評価や爆発のプロファイルを導出することが挙げられる．また，上記の臨界の境界条件を課した解は，冪乗型の非線形境界条件の解の冪に関する極限として実現されることを証明した．この結果は非線形発展方程式の主要部がなす汎函数がモスコ収束するときの解の収束に関する理論を摂動項付きの場合に拡張することで示した．その過程の中で，このモスコ収束と解の収束に関する抽象論は，具体的な放物型方程式(反応拡散方程式)に対する応用という観点からまだ不十分な箇所があると判明した．今後はこの抽象理論を自然な形で拡張することを計画している．

In this paper, we study the non-linear boundary conditions associated with the qualitative properties of solutions of non-linear heat equations in bounded domains. In particular, the boundary conditions for constructing non-linear heat equations of the second order are presented. The comparison theorem is applied to the bounded domain. The critical phenomena for the existence of large-domain solutions of the Fujita type non-linear heat equations are presented. That is, the whole space and the half space are opposite, the critical phenomenon is opposite to the power of the nonlinear term and the characteristic of the space dimension, and the bounded field is opposite to the boundary condition. The boundary condition of the boundary condition is shown in the critical boundary condition, which is equivalent to the boundary condition of the boundary condition. In the future, we should first describe the properties of critical boundary conditions in the case of bounded interval of one dimension, and then adjust the properties of critical boundary conditions in detail. The critical boundary condition of the above note is solved, and the power limit of the solution of the non-linear boundary condition of the power type is proved. The result is that the main part of the nonlinear evolution equation is the function of the equation. The abstract theory of the equation of the emission type (inverse dispersion equation) is used to determine the relationship between the two. In the future, abstract theories will be developed in a natural way.