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Special Linear System on an Algebraic Curve and its Application

代数曲线上的特殊线性系统及其应用

基本信息

批准号：
15540035
负责人：
OHBUCHI Akira
金额：
$ 1.73万
依托单位：
The University of Tokushima
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2004
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-15540035/
关键词：
Algebraic Curve Special Linear System Brill-Nother Theory Brill-Noether理論代数曲面

项目摘要

Let W^r_d(C) be a scheme of line bundles defined by W^r_d(C)={L|L∈Pic^d(C),dimΓ(C,L)【greater than or equal】r+1} (usually, W^r_d(C) can be defined as a subscheme of Pic^d(C)). Kempf and Kleiman-Laksov prove that the variety W^r_d(C) has dimension at least p=g-(r+l)(g-d+r). Griffith-Harris and Fulton-Lazarsfeld prove that W^r_d(C) is smooth of dimension p=g-(r+1)(g-d+r) when C is a general curve in the moduli spaceM_g. "A general curve" means there is an open subset U⊂M_g inM_g, W^r_d(C) is smooth of dimension p=g-(r+1)(g-d+r) for any curve C∈U. So it is natural to ask to classify which curve belongs to this open subset U⊂M_g. As for this problem, we can give good sufficient conditions (No.2 and No.3).For a finitely generated numerical semigroup which start from 4, Komeda proved that every such numerical semigroup H is Weierstrass, i.e. there is a pointed curve (C,P) such that the semigroup of non-gaps of P is just H. Unfortunatelly, in Komeda's argument, (C,P) is not constructive for some special type numerical semigroups, i.e. he uses some general theory of torus embedding and proved only the existence of (C,P). So it is very natural to ask whether a pointed curve (C,P) can be constructed concretely for this special type numerical semigroups. Our result is that we can construct (C,P) for such special type semigroup by using a double covering of hyperelliptic curve which is n-sheeted covering of another hyperelliptic curve.(No.1)

设W^r_d（C）是由W^r_d（C）={L| L∈Pic^d（C），dimΓ（C，L）[大于或等于]r+1}（通常，W^r_d（C）可以定义为Pic^d（C）的一个子概型）. Kempf和Kleiman-Laksov证明了簇W^r_d（C）的维数至少为p=g-（r+1）（g-d+r）. Griffith-Harris和Fulton-Lazarsfeld证明了当C是模空间M_g中的一般曲线时，W^r_d（C）是维数p=g-（r+1）（g-d+r）的光滑曲线.“一般曲线”是指M_g中存在一个开子集U ∈ M_g，对任意曲线C∈U，W^r_d（C）在维数p=g-（r+1）（g-d+r）上是光滑的.因此，很自然地要求对哪个曲线属于这个开子集U M_g进行分类。对于这个问题，我们可以给出很好的充分条件（No.2和No.3）：对于一个从4开始的非空生成的数值半群，Komeda证明了每一个这样的数值半群H是Weierstrass，即存在一条尖曲线（C，P）使得P的非空半群恰是H。不幸的是，在Komeda的论证中，（C，P）对某些特殊类型的数值半群不是构造性的，即他使用了一些一般的环面嵌入理论，并且只证明了（C，P）的存在性。因此，对于这类特殊类型的数值半群，能否具体构造出一条尖曲线（C，P）是一个很自然的问题。我们的结果是，对于这类特殊类型的半群，我们可以利用超椭圆曲线的一个双重覆盖来构造（C，P），该双重覆盖是另一个超椭圆曲线的n-片覆盖。（第一名）