数値解析のための力学情報埋め込み型グラフニューラルネットワークの創成

本研究は、力学現象特有の時空間的性質を機械学習手法「グラフニューラルネットワーク(GNN)」に導入し、数値解析の飛躍的な高度化や高速化を実現することが目的である。主に、3つの小課題(A) 力学情報埋め込み型 GNN の開発(B) マルチグリッド的 GNN 前処理手法の開発(C) 提案手法の実問題への適用性評価に分けて研究を進めている。初年度となる2022年度は、上記課題の (A) と (B) に関する数理的基盤技術の研究開発を実施した。まず (A) に関しては、代表者の三目らが中心となり、分担者の浅井と協力する形で、GNNに同変性を導入する手法を開発した。加えて、非線形反復解法のベクトル内積演算と機械学習における global pooling 操作との類似性に着目し、それらの力学的情報や既存の数値計算法の情報を学習器に導入することにより、解の精度が向上する (同程度の精度を出すための学習にかかるコストが低減する) ことを示した。(B) に関しては、代表者の三目と分担者の森田により、手法の種類に関係なく、行列の非ゼロ構造をもとに生成するグラフ (隣接行列) によって領域を分割するライブラリを整備した。これにより、この領域分割法を再帰的に適用することで、任意階層のグラフ構造を生成可能とした。また、分割された領域を繋ぐグラフを生成し、その粗いグラフに対して GNN を適用する領域分割型 GNN の開発を一部進めており、領域内の物理量の平均を取るという方法ではあるが、対象の粗視化が可能な方法を模索している。

本研究は、力学現象特有の時空間的性質を機械学習手法「グラフニューラルネットワーク(GNN)」に導入し、数値解析の飛躍的な高度化や高速化を実現することが目的である。主に、3つの小課題(A) 力学情報埋め込み型 GNN の開発(B) マルチグリッド的 GNN 前処理手法の開発(C) 提案手法の実問題への適用性評価に分けて研究を進めている。初年度となる2022年度は、上記課題の (A) と (B) に関する数理的基盤技術の研究開発を実施した。まず (A) に関しては、代表者の三目らが中心となり、分担者の浅井と協力する形で、GNNに同変性を導入する手法を開発した。加えて、非線形反復解法のベクトル内積演算と機械学習における global pooling 操作との類似性に着目し、それらの力学的情報や既存の数値計算法の情報を学習器に導入することにより、解の精度が向上する (同程度の精度を出すための学習にかかるコストが低減する) ことを示した。(B) に関しては、代表者の三目と分担者の森田により、手法の種類に関係なく、行列の非ゼロ構造をもとに生成するグラフ (隣接行列) によって領域を分割するライブラリを整備した。これにより、この領域分割法を再帰的に適用することで、任意階層のグラフ構造を生成可能とした。また、分割された領域を繋ぐグラフを生成し、その粗いグラフに対して GNN を適用する領域分割型 GNN の開発を一部進めており、領域内の物理量の平均を取るという方法ではあるが、対象の粗視化が可能な方法を模索している。