量子群の表現の具体的構成とその応用

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当面の私の研究プログラムは、次のとうりである。1.(1)アフィン・リー超代数G及びその包絡環U(G)をシュバレー生成元Ei,Hi,Fiからなる定義関係式を見つける。(2)(1)を達成した後、アフィン・リー超代数Gの量子包絡環Uq(G)の定義を(1)の定義関係式のq-アナログ-を考える事によって与える。(3)(2)で見つけた量子包絡環Uq(G)が弱い意味での準三角ホップ代数である事を示す。ついでにUq(G)がh-進位相の意味で自由加群になっている事も示す。(4)U(G)及でUq(G)のフォック表現を考える。2.(1)私は、学位論文で1の(1,2,3)に対応する事を有限次元単純リー超代数Gについてやりました。しかしながらその証明は、計算本位のもので私には満足出来るものではありませんでした。従ってこれらをもっとシステマティックにやりたい。(2)ドリンフェルドの量子二重構成法と私の学位論文での議論を使ってqが1の冪根のときも私が見つけた量子包絡環Uq(G)の商ホップ代数として有限次元準三角ホップ代数uq(G)が考えられuq(G)の普遍R行列Rε uq(G)×uq(G)を明確に書き下すことができる。さらにドリンフェルドの議論を使ってRからuq(G)の中心Z(uq(G))の元uε Z(uq(G))が得られる。ところがuq(G)から結び目等の低次元多様体の位相的不変量を構成するにはRとuの他にある性質(例えばv^2=u)を満たすvε Z(uq(G))を構成しなければならないのでそれをやる。本年度は、1の(1,2,3)については証明の方針の手掛かりかりがつかめた。また部分的結果も得られ大阪大学表現論セミナーでは発表した。ただやはり膨大な計算でたくさんの公式を整備してやる必要があり最終結果には至っていない。(4)については手付かずである。2の(1)についても上と同様である。2の(2)については谷崎のハリス・チャンドラ同型の議論を使えば出来そうである。