モーメント写像、重複度公式、およびその無限次元多様体への拡張の試み

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今年の目標は、1)。Duistermaat-Heckmanの重複度公式を実モーメント写像へ拡張することを試みる。更にアファインリー環の作用についてのモーメント写像、重複度公式も考えること、および2).、一般に無限次元表現のテンソル積の既約分解が有限重複度ではないことに対応して、青本-Gelfandの超幾何型函数が重複度の空間の「フーリエ展開」の底としてあらわれる。この間の事情を具体例について計算して明らかにすること。の2点であった。それぞれについて今年の成果を述べる。1)。Duistermaat-Heckmanの重複度公式の実モーメント写像への拡張は、実簡約群のクラス1表現について考察した。クラス1表現については弱い形の重複度公式が成立することが分かった。弱い形とは、モーメント写像の像に入っていれば漸近的な意味で、対応するクラス1表現が座標環に入ることが分かった。また簡約群が輪体群であるときには重複度公式の類似が成立することが分かった。これらの考察の結果、実モーメント写像は簡約群の極大コンパクト部分群に対するヘッケ環の作用を媒介にして定義することが可能であることが確からしいので、その考察を現在進めているところである。これはまたp-進リー群の「モーメント写像」を考えるうえで大事であると思われる。2).この問題については、テンソル積の既約分解が有限重複度となる例であるが、一番簡単な例としてSL_2の既約ユニタリ表現のテンソル積を石橋氏(修士の学生)が考察し、事情が単純ではないことを知った。今少し具体例を増やすことが必要であると思われる。