p-進代数的対称空間の表現論的研究

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p-進体F上定義された簡約線型代数群Gの対合σによって、定義されるGの等質空間G/G^σをGの代数的対称空間という。最近G/G^σ=PのF-valued points上の解析がJacquetのrelative trace formula,佐藤一広中の球函数の研究を通して注目されるようになった。今年は次の予想について考察を深めた。P(F)のG(O_F)-軌道分解がPの可換部分群によってなされる。(Cartan分解の類似)Fの剰余体が標数が2ではない代数的閉体で、GがF上splitしている時の代表者によって分解が得られている。この結果を剰余体が閉体ではないときに拡張するにあたって、次の写像の繊維を求めることが問題となる。Sを,{σ(g)g^<-1>|g∈G(K_<alg>)}のザリスキ閉包とすれば、SはGのK上定義されたアフィン部分多様体となる。AをS内のK-分裂極大輪環部分群とする。さて、カルタン分解の記述はつぎのようになることが予想される。W=N_G(A)/Z_G(A)として、小ワイル群を定める。Wは自然にX_*(A)に作用することに注意する。カルタン分解は、ν:G(K)^0＼S(K)→X_*(A)/Wが上への写像となること、およびλ∈X_*(A)でのファイバーの形が問題になる。考慮の結果、ファイバーの形はλに付随する放物型部分群のpを法とする還元の問題に帰着することが分かり、その形もほぼ決定することができた。