代数多様体上の代数的サイクルの研究

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本研究は代数多様体X上の余次元γの代数的サイクルの有理同値類の群、いわゆるChow群CH^γ(X)の構造の研究を目標としている。Beilinson-Deligneによって近年提出された‘混合モチーフ'の哲学に基づき,Chow群上に自然なフィルターCH^γ(X)=F^OCH^γ(X)⊃F^1CH^γ(X)⊃・・・⊃F^νCH^γ(X)⊃・・・を定義しChow群の構造について新しい視野を展開した。これによりChow群から中間ヤコビアンへのアーベル、ヤコビ写像CH^γ(X)_<hom>→J^γ(X)では捉えることのできなかった部分の研究がChow群上のフィルターの部分商とXのホッヂ構造の間の神秘的な関係という枠組のなかで可能になったのである。さらに次の重要な問題が持ち上がる。本研究者が定義したChow群上のフィルターにたいしD^γ(X)=∩_<ν【greater than or equal】0>F^νCH^γ(X)とおくとこれは代数的サイクル上に新しい同値関係を定義する。これをモチーフ論的同値と呼ぶ。このとき次の事実が予想される。予想D^γ(X)【cross product】=0.つまりモチーフ論的同値は有理同値と一致する。この予想は以前からあるいくつかの代数的サイクルに関する重要な予想を含むものである。本研究者はこの問題にたいし多様体の族にたいするホッヂ構造のvariationの理論を使い成果を挙げている。具体的には射影空間内の完全交差多様体の普遍族にたいする小平-Spencer写像を詳しく研究することにより一般的な完全交差多様体上の代数的サイクルに関する興味深い性質を導くことにある。これにより得られた結果を一つあげておく。定理Xを複素射影空間のなかの次数が十分に高い十分一般な完全交差多様体とする。C⊃Xを十分一般なdim(X)-1個の超曲面による切断とする。このときX上のゼロサイクルωでその台がCに含まれるものに対しωがX上モチーフ論的にゼロに同値ならそれはゼロに有理同値である。