代数多様体上の代数的サイクルの研究と高次元類体論及び整数論への応用

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研究者は代数多様体X上の代数的サイクルの有理同値類の群、いわゆるChow群 <CH(X)>^^^r(rはサイクルの余次元)に関し大きくわけて2つの結果を得た。ひとつはXが代数体上定義されされている場合etote cohomology群のサイクル写像P:<CH(X)>^^^r→H^<25>_<25>(X,De(r))が単射であろうという予想について特にXが曲面の場合に結果を得た。Xの幾何種数Pg=0の場合には以前に研究者自身による結果があったが今回X=ExE,ここにEはモヂュラー楕円曲線の場合にも保型形式の理論を使うことにより結果を得ることに成功した。もうひとつの結果は、最近注目を集めている混合モチーフの哲学を導入し、それにより、一般のChow群上にあるフィルター付けをしたことである。これが混合モチーフの哲学の帰結として期待される数々の性質を満たすことを示し、さらにChow群のnon‐representability(つまりChow群はアーベル多様体といった既存の代数幾何的構造では捉えきることができないということ)(Munfoulの定理)をこの一般の場合に定式化し、一般化することに成功した。応用として、重さの高いホッジ構造の幾何的解釈を得た。