コクセタ-群と準結晶

非結晶型の有限コクセタ-群のうち、とくにH_2,H_3,H_4型のものについては、準結晶理論におけるインフレーション作用素を、鏡映表現の空間において定義することができる。もとの群とインフレーション作用素で生成される無限群について研究し、いくつかの興味深い関係式がなりたつことを証明した。基本関係式を完全に求めることは、今後の課題である。同じ群の表現論的側面の研究のため、まず結晶型の有限コクセタ-群の代表例である対称群の場合から調べ始めた。対称群の任意の既約指標のフロベニウス・シュアー指数が1であることは、よく知られている。この事実は、既約指標に2階のアダムス作用素を作用させたものと単位指標との内積が常に1であることと同値であるが、単位指標以外の既約指標との内積については、これまでほとんど何もわかっていなかったようである。この問題がある種の無限積をシュアー対称多項式の定数倍の無限和として展開したときの係数を求めることと密接に関連していることを見いだし、実際にいくつかの場合に、具体的な結果を得た。例えば、上で述べた単位指標の場合の結果は、古典的なリトルウッドの恒等式と同値であるが、リトルウッドの式の新たな一般化を証明することができた。(論文を準備中)。3階以上のアダムス作用素を作用させたものについても同様の問題を考えることができるが、数値実験により、既約指標との内積が絶対値の「比較的小さい」整数であることがわかるので、何らかのよい理論が存在すると予想される。同様の問題を非結晶型も含めた一般の有限コクセタ-群の場合にも考えることも今後の課題であるが、ルスチックの意味での両側セルがこの問題に関連することが予想される。

非結晶型の有限コクセタ-群のうち、とくにH_2,H_3,H_4型のものについては、準結晶理論におけるインフレーション作用素を、鏡映表現の空間において定義することができる。もとの群とインフレーション作用素で生成される無限群について研究し、いくつかの興味深い関係式がなりたつことを証明した。基本関係式を完全に求めることは、今後の課題である。同じ群の表現論的側面の研究のため、まず結晶型の有限コクセタ-群の代表例である対称群の場合から調べ始めた。対称群の任意の既約指標のフロベニウス・シュアー指数が1であることは、よく知られている。この事実は、既約指標に2階のアダムス作用素を作用させたものと単位指標との内積が常に1であることと同値であるが、単位指標以外の既約指標との内積については、これまでほとんど何もわかっていなかったようである。この問題がある種の無限積をシュアー対称多項式の定数倍の無限和として展開したときの係数を求めることと密接に関連していることを見いだし、実際にいくつかの場合に、具体的な結果を得た。例えば、上で述べた単位指標の場合の結果は、古典的なリトルウッドの恒等式と同値であるが、リトルウッドの式の新たな一般化を証明することができた。(論文を準備中)。3階以上のアダムス作用素を作用させたものについても同様の問題を考えることができるが、数値実験により、既約指標との内積が絶対値の「比較的小さい」整数であることがわかるので、何らかのよい理論が存在すると予想される。同様の問題を非結晶型も含めた一般の有限コクセタ-群の場合にも考えることも今後の課題であるが、ルスチックの意味での両側セルがこの問題に関連することが予想される。