表現論的アルゴリズムの研究

Pを集合とし、φをPからPの部分集合全体の集合への写像とするとき、対(P,φ)を抽象アルゴリズムと呼ぶ。抽象アルゴリズム研究の第一歩として、このようなもののうち、最も簡単と考えられるものを5つの公理系により特徴づけ、平明アルゴリズム(plain algorithm)と呼ぶことにした。ある有限条件の下では、平明アルゴリズムに多重辺のないディンキン図形を自然に対応させることができる。しかも、このディンキン図形で決まるワイル群とルート系を用いて、元の平明アルゴリズムを具体的に実現することができる。実際にはワイル群とルート系から生じる自然なアルゴリズム(これを鏡映アルゴリズムと呼ぶ)が構成され、そのうち非常に特殊なものだけが平明アルゴリズムとなる。平明アルゴリズムの性質のうち、幾つかは一般の鏡映アルゴリズムへ拡張することができるが、そのほかの多くの性質については、今のところ適切な一般化の見通しは立っていない。以上の結果ともうひとつの主結果「単項生成の平明アルゴリズムの同型類はそのダイアグラムの同型類によって一意的に定まる。ダイアグラムはヤング図形の一般化であり、フックの概念の一般化を定義することができる」を中心として、2008年9月の名古屋大学における国際会議と2008年10月の筑波大学における集中講義で発表した。後者の結果から予想される色つきフック公式(古典的なフック公式の多変数有理式版であると同時に、上述の意味での一般化されたヤング図形への拡張でもある)は、研究代表者の元学生であり、研究協力者である仲田研登により証明され、学術論文誌Osaka Journal of Mathematicsの第44巻4号(2008年12月発行)に発表された。

Pを集合とし、φをPからPの部分集合全体の集合への写像とするとき、対(P,φ)を抽象アルゴリズムと呼ぶ。抽象アルゴリズム研究の第一歩として、このようなもののうち、最も簡単と考えられるものを5つの公理系により特徴づけ、平明アルゴリズム(plain algorithm)と呼ぶことにした。ある有限条件の下では、平明アルゴリズムに多重辺のないディンキン図形を自然に対応させることができる。しかも、このディンキン図形で決まるワイル群とルート系を用いて、元の平明アルゴリズムを具体的に実現することができる。実際にはワイル群とルート系から生じる自然なアルゴリズム(これを鏡映アルゴリズムと呼ぶ)が構成され、そのうち非常に特殊なものだけが平明アルゴリズムとなる。平明アルゴリズムの性質のうち、幾つかは一般の鏡映アルゴリズムへ拡張することができるが、そのほかの多くの性質については、今のところ適切な一般化の見通しは立っていない。以上の結果ともうひとつの主結果「単項生成の平明アルゴリズムの同型類はそのダイアグラムの同型類によって一意的に定まる。ダイアグラムはヤング図形の一般化であり、フックの概念の一般化を定義することができる」を中心として、2008年9月の名古屋大学における国際会議と2008年10月の筑波大学における集中講義で発表した。後者の結果から予想される色つきフック公式(古典的なフック公式の多変数有理式版であると同時に、上述の意味での一般化されたヤング図形への拡張でもある)は、研究代表者の元学生であり、研究協力者である仲田研登により証明され、学術論文誌Osaka Journal of Mathematicsの第44巻4号(2008年12月発行)に発表された。