超幾何関数の代数幾何学的研究

一般化された超幾何関数は、変数が射影空間上の点の配置であって多くのパラメーターをもった関数である。この関数には変数を点の配置の双対にとりかえ、すべてのパラメーターの符号を変えるという作用が定まる。この作用に対する双対性の公式が、ねじれ(コ)ホモロジー群の交点理論、外積構造およびGauss-Manin systemの対称性から組合わせ論的にとてもきれいな形で得られ、公式内にあらわれるガンマ関数で表される因数の幾何学的な意味も解明された。ねじれコホモロジー群における交点数の初等的計算手段が確立された。この理論を用いることにより、高階の局所系に付随するするねじれ(コ)ホモロジー群に関する交点理論が高山、小原氏(神戸大 理)との共同研究により完成した。この理論の他の応用として合流型超幾何関数に関するねじれ(コ)ホモロジー群における交点理論の研究が木村氏(熊本大 理)、原岡氏(熊本大 教養)との共同で展開されている。漸近展開可能な関数の解析がこの研究で重要であることが判明したので、この方面の専門家である真島氏(お茶の水大 理)との共同研究が始められた。代数多様体のベクトル束上の接続と超幾何関数に関する研究が研究分担者隅広氏と開始された。超幾何関数から自然に構成できる周期写像の逆写像として現われる対称空間上の保型形式に関して研究分担者菅野氏がcuspのまわりにおける展開定理を得た。この保型形式に関する無限積展開やL-関数に関しても研究が進んでいる。有限体やp進体上の超幾何関数の研究の基礎となるこれらの体係数のねじれ(コ)ホモロジー群の同型定理や交点理論の確立に向けて研究分担者都築氏との共同研究が始まった。ねじれ(コ)ホモロジー群の交点行列、Lie代数およびルート系に関する研究が研究代表者と研究分担者木幡氏で開始された。

一般化された超幾何関数は、変数が射影空間上の点の配置であって多くのパラメーターをもった関数である。この関数には変数を点の配置の双対にとりかえ、すべてのパラメーターの符号を変えるという作用が定まる。この作用に対する双対性の公式が、ねじれ(コ)ホモロジー群の交点理論、外積構造およびGauss-Manin systemの対称性から組合わせ論的にとてもきれいな形で得られ、公式内にあらわれるガンマ関数で表される因数の幾何学的な意味も解明された。ねじれコホモロジー群における交点数の初等的計算手段が確立された。この理論を用いることにより、高階の局所系に付随するするねじれ(コ)ホモロジー群に関する交点理論が高山、小原氏(神戸大 理)との共同研究により完成した。この理論の他の応用として合流型超幾何関数に関するねじれ(コ)ホモロジー群における交点理論の研究が木村氏(熊本大 理)、原岡氏(熊本大 教養)との共同で展開されている。漸近展開可能な関数の解析がこの研究で重要であることが判明したので、この方面の専門家である真島氏(お茶の水大 理)との共同研究が始められた。代数多様体のベクトル束上の接続と超幾何関数に関する研究が研究分担者隅広氏と開始された。超幾何関数から自然に構成できる周期写像の逆写像として現われる対称空間上の保型形式に関して研究分担者菅野氏がcuspのまわりにおける展開定理を得た。この保型形式に関する無限積展開やL-関数に関しても研究が進んでいる。有限体やp進体上の超幾何関数の研究の基礎となるこれらの体係数のねじれ(コ)ホモロジー群の同型定理や交点理論の確立に向けて研究分担者都築氏との共同研究が始まった。ねじれ(コ)ホモロジー群の交点行列、Lie代数およびルート系に関する研究が研究代表者と研究分担者木幡氏で開始された。