超幾何微分方程式の幾何学的研究

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Gaussの超幾何微分方程式はもとよりその他の多くの一般化された超幾何微分方程式は解の積分表示が知られている。この積分表示をねじれコホモロジー群とねじれホモロジー群のpairingとみなし、これらの群の幾何学的構造から超幾何微分方程式を考察することがこの研究の主題であった。古典的に知られているようにRiemann面の周期積分の研究では(コ)ホモロジー群の交点と積分とを結び付けるRiemannの周期関係式が重要であるが、射影直線上にn個の一位の極をもつconnection formからきまるねじれコホモロジー群に対する交点理論とこの場合のRiemannの周期関係式にあたる公式が研究代表者と九大数理趙康治氏により得られた。さらに上記の結果とねじれ(コ)ホモロジー群がもつ外積構造からk重とl重の二つの積分表示をもつ(k,k+l)型超幾何微分方程式の双対性に関する理論が完成された。また、高位の極をもつconnection formからきまるねじれ(コ)ホモロジー群に対する上記の理論を構築することにより、合流型と呼ばれる超幾何微分方程式についての研究も進められている。現在、交点理論や周期関係式等があきらかにされつつある。さらに射影空間内のいくつかの超平面とひとつの二次超曲面の配置が定義域となる超幾何微分方程式を導入し、その対称性、隣接関係式、古典的によく知られた二変数超幾何微分方程式Appell's F_1,F_4へ退化、あるK3曲面の族に関する周期写像との関係等に関する結果が研究代表者と神戸大理佐々木武氏により得られた。