Dynamiken genealogischer Bäume mit Wechselwirkung zwischen Individuen

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Wir wollen die stochastische Analysis von Prozessen genealogischer Strukturen vorantreiben. Dabei betrachten wir die Evolution eines neutralen Populationsmodells auf der Ebene der Genealogien, die wir durch spezielle metrische Räume, sogenannte R-Bäume, ultrametrische Räume bzw. R-Bäume oder ultrametrische Räume mit Gewichten, beschreiben wollen. Dabei betrachten wir zwei verschiedene Modelle: Entweder können die Individuen der Population verschiedene Typen besitzen, die den Generationswechsel beeinflussen können (Resamplingmodelle), oder die Größe der Gesamtpopulation beeinflusst die Verzweigungsrate (Verzweigungsmodelle). Das Moran-Modell oder der klassische Verzweigungsprozess sind die Sonderfälle, bei denen solche Einflüsse nicht vorhanden sind.Ziel ist es, die Entwicklung der genealogischen Struktur mit der Zeit als einen Markov-Prozess zu verstehen und durch ein Martingalproblem zu beschreiben. Von diesem zeigt man, dass sich ein Diffusionslimes durchführen lässt, bei dem die Größe der Population gegen Unendlich strebt und gegebenenfalls die Reproduktionsrate geeignet reskaliert wird. Der dabei entstehende Prozess von „Kontinuumsbäumen" löst ein Martingalproblem, das auf Eindeutigkeit hin untersucht werden soll. Weiter gilt es, Universalitätsklassen für die Struktur der Bäume zu finden in Abhängigkeit von der Struktur des Reproduktionsprozesses sowie das Langzeitverhalten zu bestimmen und dabei insbesondere die Gleichgewichtsbäume zu beschreiben. Dabei werden auch neue Methoden zum Studium nicht kompakter Bäume zu entwickeln sein. Im Vordergrund der Untersuchung stehen• katalytische Resamplingmodelle (Ohta-Kimura-Modell),• selbstkatalytische Verzweigungen (Anderson-Modell).Im Anschluss an den neutralen Fall sollen dann Modelle mit Selektion (Resampling) bzw. mit beschränkten Ressourcen (Verzweigung) betrachtet werden. Für die Anwendung ergibt sich die Perspektive, auch ganz andere Klassen von Bäumen als Modell zu verwenden und die Entscheidung bei der Wahl der Modellklasse statistisch zu fundieren. Die Analyse verwendet mathematische Methoden aus Vorarbeiten für Moran-Modell und Galton-Watson-Prozess durch den Antragsteller und seine Arbeitsgruppe.