Höhere Eigenfunktionen für den p-Laplace-Operator im Limes p gegen 1

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Sei Ω ( IRn ein glatt berandetes, zusammenhängendes Gebiet. Eigenfunktionen des p-Laplace Operators lassen sich für p ( (1,() charakterisieren als kritische Punkte des Rayleighquotienten auf geeigneten Teilmengen des Sobolevraums W1,p(Ω). Sie sind damit schwache, und wie man weiß, sogar C1–Lösungen einer Eigenwertgleichung unter geeigneten Randbedingungen.Im Vorhaben sollen insbesondere Eigenschaften des zweiten Eigenwertes und der zweiten Eigenfunktion für den Fall p ( 1 untersucht werden. Ich erwarte, dass die zweite Eigenfunktion u2,p für p ( 1 gegen eine unstetige Funktion der Gestalt u2,1(x) =(P (x)−(M(x) konvergiert, wobei P und M disjunkte offene Teilmengen von Ω sind, welche sich im allgemeinen berühren. Die Mengen P bzw. M, in denen die Funktion u2,1 positiv bzw. negativ wird, sollen dabei durch geometrische Eigenschaften charakterisiert werden. Vermutlich minimieren sie geeignete Quotienten aus geometrischen Größen wie Perimeter und Volumen.