特異点をもつ曲面の微分幾何構造の離散化

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本研究では，特異点をもつ曲面の離散化に必要な(滑らかな曲面の)微分幾何学的性質を明らかにするとともに，その離散的対応物の研究を行うことを目的としている．2022年度は2021年度からの研究の継続により，主に特異点をもつ滑らかな曲面に関する成果を得た．具体的には以下の通りである．(1) 2021年度よりの継続として，本田淳史氏，佐治健太郎氏，梅原雅顕氏，山田光太郎氏と共同で，Zakalyukinの補題の一般化を行った．すなわち，2つの波面の像が一致するとき，ある一般的な条件の下で写像芽としての右同値が成り立つという主張を，波面の一般化であるフロンタル曲面に対して拡張した．応用として，燕の尾やカスプ状交叉帽子の幾何学的対称性に関する結果も得た．本研究の成果は論文として発表済みである．(2)また，2021年度よりの継続で，上記4人との共同研究として，交叉帽子の対称性に関する研究も遂行した．本研究では，3次元Eulclid空間内の交叉帽子特異点のまわりにおいてBruce-Westの標準形による局所座標について，ある種の一意性が成り立つことを示した．応用として，その標準形を用いて交叉帽子の幾何学的不変量を取り出すことができ，その不変量によって交叉帽子の幾何学的対称性を特徴付けることができるという成果も得た．本研究の成果も，論文として発表済みである．(3) 今後の展開として，離散可展面の特異点に関する研究についても継続中である．離散化された可展面で得られた成果を滑らかな可展面に応用する研究も遂行する計画である．