特異点をもつ対象のユークリッド空間への実現問題とその応用

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昨年度は,測地的なメビウスの帯の漸近方向への延長上にはカスプ辺以外の特異点が3個以上現れるという結果を報告したが,本年度はその発展として,可展的なメビウスの帯として重要な対象である主曲率的なメビウスの帯(すなわち,閉曲率線を含む可展的なメビウスの帯)の特異点に関する数値的な結果を,RIMS講究録別冊において報告した.この中では,特に,帯の延長上にカスプ辺以外の特異点が3つ存在するような,主曲率的なメビウスの帯の数値的な具体例を構成した.また,与えられた実解析的な結び目に沿って,任意に指定した負のガウス曲率をもつようなメビウスの帯の捻り数の存在・非存在を判定する必要十分条件を与えた.ガウス曲率が正の場合は,Gluck-Panによって位相的な性質が既に調べられており,実際,正曲率の帯は,捻り数が結び目の「自己絡み数」と呼ばれる整数値に等しいもの以外は存在しない.ガウス曲率が零の場合は,去年度に報告した筆者自身の結果があるため,本研究で残りの負曲率の場合を与えたことで,結び目に沿うメビウスの帯の捻り数とガウス曲率の符号の関係に関する一連の研究に対して,決着を与えたものであると考えられる.この成果は,現在投稿中である.さらに,特異点をもつ曲面のユークリッド空間への実現問題に関連して,長谷川大氏・本田淳史氏・梅原雅顕氏・山田光太郎氏と共同で,2次元多様体から3次元ユークリッド空間への滑らかな写像で最も頻繁に現れる特異点である,交叉帽子特異点の微分幾何的な立場からの研究を行った.本研究では,交叉帽子特異点において,ある種の座標系の下で級数展開したときに現れる2次の項の3つの係数が,第一基本量のみで決まる内的な不変量を与えることを示し,さらに交叉帽子が線織面となっている場合には,第一基本形式を保つような非自明な等長変形が存在することも示した.この成果は現在投稿中である.以上の研究成果は,幾何学シンポジウムや数理研研究集会などの研究集会のほか,東工大や熊本大における幾何セミナーにおいて報告した.