角のある領域における超局所双曲性

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今年度の研究は大別して、(1)包合的な2重特性多様体を持つ微分方程式の解の(超局所的な)依存領域の研究、(2)Real and Complex構造に自然に現れる微分方程式系のmicrodistribution解層の消滅定理の研究の完成であった。(1)microdifferentail equationでその特性多様体が正規交差する2つの超曲面で、交わりが包合的なものの解の特異性の伝播は様々な角度で研究されてきた。今回の結果は、2つの超曲面が交わりの余次元2の包合的な多様体に定まるWEBの構造において、4角形の3点に解析的な超局所特異性がないと残りの1点にもないという物である。この現象は、岡田靖則(千葉大学)によって、低階項に関するLevi条件のもとC^∞級の特異性の場合に証明されたのであるが、今回、解析的な特異性の場合、低階項の条件を一切課さないで、超曲面上の多重度が全く自由で成立することを示した。証明の方法は、基本的には交わりの包合的多様体に沿った第2超局所解析を用いている。今までは、第2超局所解析の応用としては解の特異性の伝播のレベルに終止してきたが、今回の結果は第2超局所的に解と解くという操作を用いているという点で方法的に新規なものである。今後の課題としては、3重以上の包合的な場合の研究がまず考えられる。さらには、より抜本的には、基本解の構造のより深い理解にも興味がわく。(2)F.TrevesとBaouendiが、tangential Cauchy-Riemann構造の一般化として導入したReal and Complex構造から自然に定まるベクトル場の包合系が自然に複体を構成するが、この複体の値がdistributionの場合のコホモロジー消滅定理を与えた。これは、Trevesらが佐藤超関数に値をもつ場合に得ている消滅定理と同様の性格のものである。方法としては、E.Andronikofと戸瀬が得ている、distribution解の場合の楕円型境界値問題を本質的に用いている。