代数多様体に含まれる正則曲線の研究

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今年度はモンジュ・アンペール方程式について研究をした. 特に多重劣調和関数がモンジュ・アンペール方程式の解となっており, そのレベル集合が凸となっている場合は, レベル集合の境界上に正則な円板が入っていることなどを示した. この結果により, 凸領域における小林距離の幾何学的な性質を多重複素グリーン関数のモンジュ・アンペールカレントの台と関連付けて調べることができた. 凸領域の小林距離を調べることは小林距離の局所的な性質を調べることに関連する. そのため大域的な対象である射影代数多様体などの小林距離を調べる際に役に立つ研究であるといえる. 最終的にはこのモンジュ・アンペール方程式の結果を一般型射影代数多様体の正則曲線に応用するつもりであり, 小林予想やグリーン・グリフィス予想を解決する一つの手がかりとして期待できる. また他にも今年度は小林双曲的に埋め込まれる4次曲面と5次曲面の研究も行った. これは伊藤敦氏との共同研究で現在も研究中のものであるが, この研究が成功すれば, ひとまず曲面の小林双曲性に関する例は一通り構成することができたことになる. ちなみに2次, 3次曲面の例は既に昨年度伊藤敦氏との共同研究で構成したものである. このように例を構成することで小林双曲性への理解が深まり, 曲面に対する小林予想を解決する手がかりとなる. 以上から今年度は正則曲線の研究に確かな成果を残すことができ研究は順調に進んでいるといえる.