アルゴリズム的観点での確率及び予測概念の研究

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本研究の目的は, アルゴリズム的確率の確率および予測としての性質を明らかにすることにあった. 平成25年度は特に「A, アルゴリズム的確率の一般化」に重点を置いた. これまでアルゴリズム的確率は, 文字列上でのみ定義されていた. これをもっと一般的な空間で定義できるようにするためには, 計算可能性解析の手法を導入する必要がある.アルゴリズム的確率において, 2007年のHutter-MuchnikによるMLランダムな点での非収束という重要な結果がある. 一方, ランダムネスの理論においてランダムの概念の解析的な特徴付けが知られるようになった. やがて, これらの問題が本質的に同じ問題であることが明らかになってきた.当該年度に得た大きな結果として, 密度ランダムネスの微分定理による特徴付けがある. これはランダムネスの理論の文脈での貢献であると同時に, Hutter-Muchnikの結果の特殊な場合の拡張と見ることもできるもので, 計算可能解析の手法がアルゴリズム的磯率の理解に有用であることを示す大きな一歩となった. 本結果は現在執筆中の論文に含まれる予定である.次に「B, ゲーム論的確率論での確率との関係」について述べる. アルゴリズム的確率の最も大きな特徴は「普遍性」(universal property)を持つということである. 一方, ゲーム論的確率論ではこのような性質は存在せず, そのため脱乱択化ができる. 当該年度にはその具体的な手法を与えることができた. このような性質の違いを明らかにすることで, 確率の概念に追ることができると考えている.アルゴリズム的確率の研究を進める上で, 計算可能測度論構築の必要性を強く感じたため, そちらにも力を注いだ.