微分次数付き圏のカラビ・ヤウ構造と多元環の表現論

本年度は主に有限次元代数による可換環のCohen-Macaulay表現論や、特異点の非可換クレパント解消に関する研究を行った。主要な結果として以下を得た。(1)環の表現論において表現型（有限・順・暴）は、表現の分類という最も根源的な問題に関する理論として、古典的に重要な概念である。殆どの環は暴表現型であり表現の分類は不可能とされている。そこで暴表現型でも加群圏の構造の理解が期待されるクラスとして、傾理論の観点から可換Gorenstein環に対して遺伝的表現型の概念を導入した。遺伝的表現型の可換環について基本的性質を与えるとともに下記の(2)(3)の結果を用いて無限個の例を構成した。(2)与えられた特異点に対してその非可換クレパント解消の存在性は基本的な問題である。2つの可換正規Gorenstein環に対して、その上の非可換クレパント解消の存在がSegre積に遺伝することを示した。これを用いて3,4,5次元の可換Gorenstein環で遺伝的表現型であるものを構成した。(3)1次元可換Cohen-Macaulay整域の古典的なクラスである数値半群環の拡張として、拡大数値半群環を導入し、その基本的な環論的および表現論的性質を与えた。新たに導入した拡大数値半群環を用いて、遺伝的表現型Gorenstein環の族を構成した。(4)ある（Gorensteinでない）4次元可換Cohen-Macaulay環で、遺伝的表現型と見なせるものの例を発見した。それは2団傾対象を一意的に持つことを示し、さらにその上のrigidなCohen-Macaulay加群の分類を与えた。特にrigidなCohen-Macaulay加群が有限個しかないことが分かった。上記の諸結果をプレプリントとして公表した。

本年度は主に有限次元代数による可換環のCohen-Macaulay表現論や、特異点の非可換クレパント解消に関する研究を行った。主要な結果として以下を得た。(1)環の表現論において表現型（有限・順・暴）は、表現の分類という最も根源的な問題に関する理論として、古典的に重要な概念である。殆どの環は暴表現型であり表現の分類は不可能とされている。そこで暴表現型でも加群圏の構造の理解が期待されるクラスとして、傾理論の観点から可換Gorenstein環に対して遺伝的表現型の概念を導入した。遺伝的表現型の可換環について基本的性質を与えるとともに下記の(2)(3)の結果を用いて無限個の例を構成した。(2)与えられた特異点に対してその非可換クレパント解消の存在性は基本的な問題である。2つの可換正規Gorenstein環に対して、その上の非可換クレパント解消の存在がSegre積に遺伝することを示した。これを用いて3,4,5次元の可換Gorenstein環で遺伝的表現型であるものを構成した。(3)1次元可換Cohen-Macaulay整域の古典的なクラスである数値半群環の拡張として、拡大数値半群環を導入し、その基本的な環論的および表現論的性質を与えた。新たに導入した拡大数値半群環を用いて、遺伝的表現型Gorenstein環の族を構成した。(4)ある（Gorensteinでない）4次元可換Cohen-Macaulay環で、遺伝的表現型と見なせるものの例を発見した。それは2団傾対象を一意的に持つことを示し、さらにその上のrigidなCohen-Macaulay加群の分類を与えた。特にrigidなCohen-Macaulay加群が有限個しかないことが分かった。上記の諸結果をプレプリントとして公表した。