三角圏のAuslander対応と団傾理論

三角范畴与群倾斜理论的奥斯兰德对应

基本信息

批准号：
19J21165
负责人：
埴原紀宏
金额：
$ 2.18万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は主に傾理論の研究を微分次数付き圏（differential graded category, dg圏）による増強の立場から行った。特に可換Gorenstein環（やその非可換類似）の特異圏を有限次元代数の導来圏やクラスター圏として実現する問題に取り組み、主要な結果として以下を得た。(1) クラスター圏の構成の一つとしてKellerによるdg軌道圏が挙げられるが、これはクラスター圏のdg増強として基本的な対象である。このdg軌道圏を付加的な次数を持つdg圏と見なすことによって、次数付きdg圏のなかから生成性に関する条件によってdg軌道圏を特徴づける結果を与えた。(2) 可換Gorenstein環（より一般にその上の対称整環）の特異圏の自然なdg増強が（弱い意味の）右カラビ・ヤウ構造を持つことを示した。これは孤立特異点に対する古典的なAuslander-Reiten双対性（カラビ・ヤウ性）の増強を与える基本的な結果であるとともに、特異軌跡の仮定を排したAuslander-Reiten双対性と見なすことができる。(3) 上記(1)(2)の応用として、次数付き特異圏と有限次元代数の導来圏の三角同値が、自動的に（次数なしの）特異圏とクラスター圏の間の同値を導くことを示した。これは個別の設定に依らずにクラスター圏との間の三角同値を導く手段を与える一般的な結果である。特に商特異点の特異圏やグラスマンクラスター圏を、有限次元代数のクラスター圏としての実現を与えた。上記の諸結果は伊山修氏との共同研究として論文を準備中である。

今年，我们主要是从增强差分类别（DG）的角度进行倾斜理论的研究。特别是，我们解决了实现戈伦斯坦环（及其非共同类似物）作为有限维代数的衍生代数和群集球的奇异领域的问题，并且作为主要结果，我们获得了以下方面的主要结果：（1）群集区域之一是Keller的DG Orbital区域，是Keller的DG，是基本的DG。通过将此DG轨道球视为带有其他订单的DG球体，我们给出的结果表征了DG轨道球从有序的DG球中，通过与发电有关的条件。（2）我们已经表明，交换性Gorenstein环的奇异球体的天然DG增强（在其上方更一般对称环）具有右键 - YAU结构（从弱意义上讲）。这是一个基本的结果，它为孤立的奇异性提供了增强的经典的Auslander-Reiten二元性，并且可以被视为Auslander-Reiten双重性，从而消除了奇异轨迹的假设。（3）作为上述（1）和（2）的应用，我们已经表明，奇异球的三角形等效率与有限的球体和有限维代数的派生球自动得出（无序的）奇异球体和群集球之间的平等。这是一个普遍的后果，它提供了一种能够在群集区域和从群集区域之间以及各个设置之间得出三角形等效性的手段。特别是，商业奇异性和格拉斯曼集群区域的奇异性被视为有限维代数的集群区域。目前，上述结果正在与Iyama Osamu先生进行联合研究项目。