三角圏のAuslander対応と団傾理論

今年度は主に傾理論の研究を微分次数付き圏（differential graded category, dg圏）による増強の立場から行った。特に可換Gorenstein環（やその非可換類似）の特異圏を有限次元代数の導来圏やクラスター圏として実現する問題に取り組み、主要な結果として以下を得た。(1) クラスター圏の構成の一つとしてKellerによるdg軌道圏が挙げられるが、これはクラスター圏のdg増強として基本的な対象である。このdg軌道圏を付加的な次数を持つdg圏と見なすことによって、次数付きdg圏のなかから生成性に関する条件によってdg軌道圏を特徴づける結果を与えた。(2) 可換Gorenstein環（より一般にその上の対称整環）の特異圏の自然なdg増強が（弱い意味の）右カラビ・ヤウ構造を持つことを示した。これは孤立特異点に対する古典的なAuslander-Reiten双対性（カラビ・ヤウ性）の増強を与える基本的な結果であるとともに、特異軌跡の仮定を排したAuslander-Reiten双対性と見なすことができる。(3) 上記(1)(2)の応用として、次数付き特異圏と有限次元代数の導来圏の三角同値が、自動的に（次数なしの）特異圏とクラスター圏の間の同値を導くことを示した。これは個別の設定に依らずにクラスター圏との間の三角同値を導く手段を与える一般的な結果である。特に商特異点の特異圏やグラスマンクラスター圏を、有限次元代数のクラスター圏としての実現を与えた。上記の諸結果は伊山修氏との共同研究として論文を準備中である。

今年度は主に傾理論の研究を微分次数付き圏（differential graded category, dg圏）による増強の立場から行った。特に可換Gorenstein環（やその非可換類似）の特異圏を有限次元代数の導来圏やクラスター圏として実現する問題に取り組み、主要な結果として以下を得た。(1) クラスター圏の構成の一つとしてKellerによるdg軌道圏が挙げられるが、これはクラスター圏のdg増強として基本的な対象である。このdg軌道圏を付加的な次数を持つdg圏と見なすことによって、次数付きdg圏のなかから生成性に関する条件によってdg軌道圏を特徴づける結果を与えた。(2) 可換Gorenstein環（より一般にその上の対称整環）の特異圏の自然なdg増強が（弱い意味の）右カラビ・ヤウ構造を持つことを示した。これは孤立特異点に対する古典的なAuslander-Reiten双対性（カラビ・ヤウ性）の増強を与える基本的な結果であるとともに、特異軌跡の仮定を排したAuslander-Reiten双対性と見なすことができる。(3) 上記(1)(2)の応用として、次数付き特異圏と有限次元代数の導来圏の三角同値が、自動的に（次数なしの）特異圏とクラスター圏の間の同値を導くことを示した。これは個別の設定に依らずにクラスター圏との間の三角同値を導く手段を与える一般的な結果である。特に商特異点の特異圏やグラスマンクラスター圏を、有限次元代数のクラスター圏としての実現を与えた。上記の諸結果は伊山修氏との共同研究として論文を準備中である。