正標数の微分形式に関する研究

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本年度は，1, 正標数の微分形式の拡張定理，2, 準フロベニウス分裂性，3, 自己射とBott消滅定理，4, 対数的曲面の対数的持ち上げの4つに関する研究を行った．1について，正標数の微分形式の拡張問題に対し，Cartier作用素を用いた新しいアプローチを考案することで，様々なクラスの特異点で，微分形式の拡張定理の成立を証明できた．特に，局所的に長さ2のWitt環にフロベニウス射と共に持ち上げ可能な特異点に関し，拡張定理を証明した．例えば，線形簡約群による良い商は，この持ち上げ可能性を満たす．2について，高松氏，田中氏，Witaszek氏，呼子氏，吉川氏らとの共同研究において，準フロベニウス分裂性の基礎理論の構築を行なった．特に，2次元のklt特異点と標数43以上の3次元klt特異点が準フロベニウス分裂であることを証明した．また，高松氏，吉川氏らとの共同研究において，Fedderの判定法を準フロベニウス分裂性を判定できるように拡張した．3について，非自明な自己射を持つPicard数1のFano多様体は射影空間か?という未解決問題にアプローチした．この問題は，標数が0の場合，いくつかの仮定のもと知られている．本研究では，Bott消滅定理に着目した新しいアプローチを考案することで，これら既存の結果うち多くを任意標数に拡張した．これは，標数0の場合にも新しい証明である．4について，Bernasconi氏，Brivio氏，Witaszek氏との共同研究において，2次元の射影的F分裂多様体は，ある意味で特異点を保つようなWitt環への持ち上げを持つことを明らかにした．また，別の研究として，十分大きい標数の対数的Calabi-Yau曲面上でKawamata-Viehweg消滅定理が成立することを明らかにした．どちらの研究も，対数的持ち上げ可能性が重要な役割を果たしている．