Die Spektren des Dirac- und des Laplace-Operators auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten

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Der Laplace-Operator und der Dirac-Operator sind lineare Differentialoperatoren von zentraler Bedeutung in Mathematik und Physik, z.B. Wärmeleitungsgleichung und Wellengleichung. In der Quantenmechanik beschreibt der Laplace-Operator Teilchen mit Spin O und 1, wohingegen der Dirac-Operator bei Teilchen mit Spin 1/2 benutzt wird. Eigenwerte dieser Operatoren entsprechen möglichen Energien der Teilchen. Die Gesamtheit aller Eigenwerte heißt Spektrum.In vieler Hinsicht sind diese beiden Operatoren miteinander eng verwandt. Es hat sich historisch schon öfters ergeben, daß viele Techniken, die wichtige Informationen über den Laplace-Operator liefern, nach entsprechenden Modifikationen auch auf den Dirac-Operators angewendet werden können. Andererseits gibt es wichtige Unterschiede zwischen den Operatoren: z.B. hängt die Definition des Dirac-Operators zusätzlich von der Wahl einer Spin-Struktur ab.Ziel der gemeinsamen Forschungsaktivität mit Prof. Dodziuk an der City University New York ist es nun, weitere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen dem Spektrum des Laplace-Operators und dem Spektrum des Dirac-Operators zu finden. Die einzelnen Projekte werden unten näher ausgeführt.