線型,及び非線型波動伝播現象の解析

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(1)単独保存則の方程式に対して空間1次元の場合に衝撃波の構成を行った。Rankine-Hugoniotの方程式を直接解くことは出来ない。なぜなら方程式は原点の近傍でリプシッツ連続でないからである。我々の方法はHamilton-Jacobi方程式に一度もどることである。1986年9月に開かれた『夏の偏微分方程式研究集会』に於て、この結果を報告した。(2)一般一階偏微分方程式の古典解の構成はいつも2回連続的微分可能函数の空間に於て議論されている。しかし、方程式には1回偏導函数しか現われないので、解が2回連続的微分可能である必要はない。そこで1回連続的微分可能である解が存在するための『方程式及び初期値に対するギリギリの条件』について考察し、1つの結果を得た。これについては、1986年12月に信州大学に於て開かれた研究集会、及び1987年2月に福岡大学に於て開かれた研究集会において報告した。しかし、我々の結果は既にWazewskiにより1937年に証明されていることを後で知った。(3)特性曲線族により得られる『時間に依存する微分可能写像』に対して、そのJacobian=0となるとき、特性曲線は交差するかどうかについて考察した。この問題は弱解の特異性が衝撃波であるかどうかという事と関係している。先ず、Jacobian=0となるが特性曲線は交わらない例を構成した。この例に対応する7階偏微分方程式の大域的弱解は衝撃波とは別種の代数的特異点をもっている。次にJacobian=0となったとき、特性曲線が交差する為の特徴付けを行った。この場合、衝撃波(又はそれと同種のsingalarities)が現われる。現在、この結果について論文作成中。