可微分多様体の間のK-mersionの存在と分類

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昨年度中に作成したプレプリント"Immersions of real projective spaces into complex projective spaces"は4月に広島大学紀要に投稿し, 11月に出版された.immersionに関するLiの結果は次の様な形でK-mersionに拡張された. ξをX上のm次元ベクトル束, ζをY上のn次元ベクトル束, k≦m,nでF:X→Yは連続とする. バンドル写像g:ξ→ζは各ファイバー上階数がK以上の時k-morphismという. k〔ξ,ζ〕_fでfを被覆するK-morphismのホモトピー集合を, k〔ξ,ζ〕_<〔f〕>でfとホモトープな写像を被覆するK-morphismのホモトピー集合を表す. この時k〔ξ,ζ〕_f=k〔ξ,ζ〕_<〔f〕>/II,(Y^X,F)が成立する. 特に可微分多様体の間の連続写像F:M→Nに対し, k<dimN又はNが開多様体ならばK〔τ_M,τ_N〕_f/II,(N^M,F)とFとホモトープなK-mersionのホモトピー集合が1対1に対応することがわかった.更にK=n<mの場合をもう少しくわしく調べた. 可微分多様体の間の連続写像F:M→Nに対し, ベクトル束の安定類ττ_M-F^xτ_nの分類写像M→BOのBO(dimM-dimN)へのLiftのホモトピー集合〔M,BO(dimM-dimN):τ_M-F^Xτ_N〕のII,(N^N)-作用による商集合と, Fとホモトープなsubmersionの正則ホモトピー集合s〔M,N〕_fとの間に1対1の対応があることがわかった. これにより, NがII-多様体の場合, 集合s〔M,N}_fはMのホモトピー次元がdimM-dimN位以下の時計算可能となった. NがII-多様体でない場合, M=RP^m-RP^k, N=RP^nの時は存在がまだわからないが, 存在すれば分類は可能であるところまで調べることができた.