リーマン空間の曲率構造と曲率演算について

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n次元リーマン空間 (M,g) の曲率をR,縮約をcとする。Xiはベクトル場とする。2次の曲率演算tを次式で定義する。1.t三Oデアルタメノ必要十分条件はR三O,すなわち,Mは平坦な空間である。次にtの抗体化テンソルTを次式で定義する (Θはcyclicsum) 。このテンソンTと2次の曲率構造R〓R (〓は2重形式の外積) との間には次の関係が成立する。2.c (R〓R) +2 (cR) 〓R+2T三O.特にMがn+1次元ユークリッド空間の超局面で,X^1,・・・,X^n,Z-空間において,Z=Z (X^1,・・・X┣D1n) の形で与えられているとき,3.4.5.2-flatすなわち,R〓R三Oであるための必要十分条件はranA≦3である。よって2階偏微分方程式の特別な場合である。終わりにMがq次共形平坦な直積空間であるときに、その性質を調べるのに有用な次の公式を述べる。6.ここでCは組合せであり,S≧1,r,tは非負整数とする。