多次元パラメーターの確率場の表現とその応用

本年度は特に, 一次元パラメータブラウン運動に重点を置いて研究を行った. 従来よりブラウン運動が, 種々の変換に対する不変性を有する事は知られているが, 特に次の3つの変換に着目した. T1)X_1(t)=B(t+h)-B(t), T2)X_2(t)=e^<-u/2>B(e^ut), T3)X_3(t)=tB(-1/). 勿論, B(t)をブラウン運動とする時, X_1, X_2, X_3各々が, 又ブラウン運動となる事と, T1)及びT2)が各々パラメータhとuに関して1パラメータ群となり, またそれらが群を構成する事は, 古くから知られているが, 今回はT3)をも合わせてさらに大きな群が構成される事を示した. すなわち, 定理g=(<a,b>/<c,d>)SL(2,R)とすると, B^g(t)=(ct+d)B((at+b)/(ct+d))-ctb(a/c)-dB(b/d)は又ブラウン運動になりSL(2,R)のブラウン運動に対して同様の事を考えると, 射影幾何(SL(n+1,R))よりも, むしろ共形幾何学との繋がりが存在する事が分かってきて, この幾何学的不変性とブラウン運動のホワイトノイズによる表現との関連に, 新たな見方をあたえてくれている.

本年度は特に, 一次元パラメータブラウン運動に重点を置いて研究を行った. 従来よりブラウン運動が, 種々の変換に対する不変性を有する事は知られているが, 特に次の3つの変換に着目した. T1)X_1(t)=B(t+h)-B(t), T2)X_2(t)=e^<-u/2>B(e^ut), T3)X_3(t)=tB(-1/). 勿論, B(t)をブラウン運動とする時, X_1, X_2, X_3各々が, 又ブラウン運動となる事と, T1)及びT2)が各々パラメータhとuに関して1パラメータ群となり, またそれらが群を構成する事は, 古くから知られているが, 今回はT3)をも合わせてさらに大きな群が構成される事を示した. すなわち, 定理g=(<a,b>/<c,d>)SL(2,R)とすると, B^g(t)=(ct+d)B((at+b)/(ct+d))-ctb(a/c)-dB(b/d)は又ブラウン運動になりSL(2,R)のブラウン運動に対して同様の事を考えると, 射影幾何(SL(n+1,R))よりも, むしろ共形幾何学との繋がりが存在する事が分かってきて, この幾何学的不変性とブラウン運動のホワイトノイズによる表現との関連に, 新たな見方をあたえてくれている.