合同ゼ-タ-関数の決定に関する研究

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主として次のような超楕円曲線族のLー関数の決定について研究した。y^2=F(x)、F(x)は有限体F(q)上の二項多項式、と表現されるうちの二通りの族を対象とした。第一の問題は、そのLー関数のすべての根が、1の巾根とqの平方根との積で表示されるためのqが満たす必要かつ十分な条件を、それぞれの族に対して、qとF(x)とに関係した量で示すことである(すなわち曲線が超特異になる条件)。q自身が素数ならば、この問題はRiemann HypothesisやManin Theoryから導かれることは既に発表した。一般の場合はGauss sum、Jacobi sum、Stickelberger Theorem、Dirichlet Seriesなどを使用した大変精細な考察が必要であったが、予想通りに解決できた。この結果は、Jour.Number Theoryに掲載される。また結果は研究分担者の宮脇、伊吹山の数論上の研究と関連している。次にLー関数の(qの多項式としての)具体的な表現を問題にした。先に得られた結果を利用すれば、幾つかの簡単な量を使用して計算しやすい形で表現できることがわかった。現在は更に、正規な曲線と超特異なそれとの、いわば中間に介在するであろう曲線族について、pーrankとの関連で同様な問題を研究しているし、今後もこれを続ける予定である。研究分担者の宮脇、伊吹山は数論の面から情報を提供した。また、佐藤、伊吹山はそれぞれの分野で別に示された通りの研究成果を挙げた。