非線形楕円型方程式の境界値問題(退化する場合も含め羽解の存在)

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Ω(CR^n(n≧2))は有界または非有界領域とし、〓Ω【element】C_1、S_2はn-1次元C_1多様体上の開集合、S_1=〓Ω＼S_2とする。退化する(xについても、u(x)、▽u(x)についても)ことを許す楕円型方程式に対する境界値問題-Σ^^n__<ij=1>〓/(〓x_i)(a_i(x,u(x),▽u(x))=f(x,u(x),▽u(x))(x【element】Ω)u(x)=ψ(x)(x【element】S_1)Σ^^n__<i=1>a_i(x,u(x),▽u(x))cos(n,x_i)=ψ(x,u(x))(x【element】S_2)を考えた。(ここでcos(n,x_i)はS_2上の点xの外法線方向の単位ベクトルの第i成分e)科研費申請書の研究目的は、この問題の羽解の存在条件を与えることであった。そのために、研究代表者ががすでに得ていた、線形についての結果(1986)を一般化することを試みた。線形の場合は、羽解の定義に現れる2次形式D[u,v]の有界性とCoercivenessとが本質的であった。線形の場合は、この条件のもとに一意性も得られるが、一意性に関しては、非線形の場合には、もう少し条件を付け加えなければならない。最終的に得られた結果はLadyzhonskaja-Ural'tseva(1973)のxについてもu(x)〓▽u(x)についても退化しない場合の議論を重みをつけた形で拡張することになってしまった。なお、この型の問題は、放物型(あるいは双曲型)の問題の定常状態または停留状態として特徴づけるところまで煮つめないと、少なくとも物理的には無意味であると思われる。最後に研究分担者が他の方向での知見を広めたことを附記する。