確率微分方程式と確率力学系の研究

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本研究では下記の三つの課題において成果を得た。1.有界領域上の確率力学系。ユ-クリッド空間上に定義された確率微分方程式の解は、その系数がLipschitz連続ならば、位相同型の確率力学系をなす事が知られている。本研究では有界領域の確率微分方程式の解であっても、その系数が境界の近傍で退化しておれば確率力学系をなすことを示した。また必要な退化の次数を明らかにした。2.確率微積分方程式の解の極限定理。確率微分方程式の解のなす確率力学系の極限定理についてはこれまで詳細な研究を行った。本年度はその研究を発展させて、確率微積分方程式の解の極限定理にも適用出来るように改良した。その結果離散時間の確率差分式の解の極限定理にも広く適用出来るようになった。とくに独立確率変数列のみでなくある種の混合条件をみたすマルコフ連鎖によって駆動される離散時間の確率力学系の極限定理に関し新しい結果を得た。また上記マルコフ連鎖から導かれるランダム測度の列についても極限のランダム測度を求めた。これを用いることによって極限の確率力学系がより明確に把握できることがわかった。3.正則拡散過程の爆発問題。複素空間上の領域に与えられた正則拡散過程が爆発するか否かの判定条件を得た。その判定条件を適用することにより、境界が滑らかな領域では、正則領域であることを正則拡散過程が確率1で爆発しないことが同等であることを示した。