確率微分方程式と超関数-両者の結合作用の研究

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確率微分方程式の解の定義する微分同型のflow(Stochastic flow)とSchwartzの超関数との合成が超関数空間に値をとる確率過程として定義出来ることを示し、その確率過程について詳細な解析を行った。さらにその成果を2階の放物型偏微分方程式及び確率偏微分方程式の初期値問題及び解の正則性の研究に応用した。本年度に得た結果を報告する。1.上述の超関数を値にとる確率過程の平均が超関数として定義出来ることを示し、それが初期値が超関数の場合の2階放物型偏微分方程式の超関数解を与える事をしめした。解を確率論を用いて表現する方法として、Feynmann-Kacの公式があるが、このことにより同公式が超関数解にまで拡張出来ることが判明した。2.Stochastic flowの空間変数に関する微分のLp評価をもとめ、それを偏微分方程式の超関数解の正則性の研究に応用した。解析学的手法では、退化した偏微分方程式の解の正則性については非退化偏微分方程式場合ほど十分に解明されていない。本研究では確率論的手法によってこの問題に新しい知見をえた。3.本研究で定義した合成と、Malliavin calculusにおけるWiener汎関数のpull backに関する渡辺信三氏の研究との関係を検討し、Hoelmanderの準楕円性定理に確率論的証明を与えた。4.非線形フィルタの問題に関連して研究されている2階の放物型確率偏微分方程式の超関数解の正則性や初期値に関する連続性の問題にも上述の合成法が応用出来ることが判明した。