自由度無限の系に関する数理解析的研究

ヒルベルト空間の作用素に値をもつ再生核の理論は、1950年頃より種々の研究者によって研究され、それに伴なう再生核ヒルベルト空間の構成も明らかにされてきた。最近では確率論や函数論へも興味深い応用がなされつつある所である。本研究では、これらをさらに一般化して、今までのすべての場合を特殊な場合として含むような設定下で理論を展開した。具体的に述べれば、C^*-代数上のmoduleを考え、そのmoduleに特有のある種の作用素全体を考え、その作用素に値をもつ正定値の写像(正定値核と呼ぶ)に対して、上に述べたのと同様に、再生核ヒルベルトmoduleを構成し、その結果を用いて、ある種のC^*-代数に値をもつ正定値核に対する種々の結果を与えた。これらは上に述べた通常のヒルベルト空間の場合における良く知られた結果を含んでいる。但し、ヒルベルトmodule的観点をとることにより、前より結果の意味が明白になっている。応用として、*-半群上で定義され、ヒルベルトmodule上のある種の作用素に値をとる正定値写像に対して、一つの拡張定理を与えた。これも、今までの、ヒルベルト空間上の作用素、あるいは、バナッハ空間からその双対空間への線形作用素に値をとる正定値写像に対して得られていた結果をすべて特殊な場合として含んでいる。将来の課題としては、C^*-代数の理論を用いた非可換微分幾何学と、現在物理で盛んに議論されている超弦理論との関連を明らかにすることが、重要になると思われる。その他の研究成果についてはここでは詳しく述べないが、裏ペ-ジの論文リストを参照のこと。

ヒルベルト空間の作用素に値をもつ再生核の理論は、1950年頃より種々の研究者によって研究され、それに伴なう再生核ヒルベルト空間の構成も明らかにされてきた。最近では確率論や函数論へも興味深い応用がなされつつある所である。本研究では、これらをさらに一般化して、今までのすべての場合を特殊な場合として含むような設定下で理論を展開した。具体的に述べれば、C^*-代数上のmoduleを考え、そのmoduleに特有のある種の作用素全体を考え、その作用素に値をもつ正定値の写像(正定値核と呼ぶ)に対して、上に述べたのと同様に、再生核ヒルベルトmoduleを構成し、その結果を用いて、ある種のC^*-代数に値をもつ正定値核に対する種々の結果を与えた。これらは上に述べた通常のヒルベルト空間の場合における良く知られた結果を含んでいる。但し、ヒルベルトmodule的観点をとることにより、前より結果の意味が明白になっている。応用として、*-半群上で定義され、ヒルベルトmodule上のある種の作用素に値をとる正定値写像に対して、一つの拡張定理を与えた。これも、今までの、ヒルベルト空間上の作用素、あるいは、バナッハ空間からその双対空間への線形作用素に値をとる正定値写像に対して得られていた結果をすべて特殊な場合として含んでいる。将来の課題としては、C^*-代数の理論を用いた非可換微分幾何学と、現在物理で盛んに議論されている超弦理論との関連を明らかにすることが、重要になると思われる。その他の研究成果についてはここでは詳しく述べないが、裏ペ-ジの論文リストを参照のこと。